11、浮点数运算、混合系统与循环神经网络模型学习技术综述

浮点数运算、混合系统与循环神经网络模型学习技术综述

1 浮点数运算与对称超有理数

在浮点数运算中，为避免部分算术运算的问题，采用特殊值来表示特定情况。使用无穷大（∞）和负无穷大（−∞）分别表示 1/0 和 -1/0，用错误值 NaN 表示 0/0。部分运算可能导致异常和中断，这些通过特殊的信号错误值（如信号 sNaN）来建模。由于存在错误值，浮点数运算的定义域没有全序关系。在一些浮点数运算模型中，1/∞ = 0 且 1/−∞ = -0，这里的 -0 与 0 不同。

超有理数的算术数据类型是对有理数数据类型的扩展，它包含了 ∞ 和 -∞ 以及一个单一的安静 NaN（这里称为 ⊥2），并设定 1/∞ = 1/−∞ = 0。从有理数的角度看，超有理数是浮点数运算中一些关键特征的语义模型，但在无穷大方面存在不幸的不对称性。

对称超有理数在除以零的约定上与浮点数运算有所不同。其理念是正无穷大仅由正溢出产生，正无穷小由正下溢以及除以正零 - 无穷大产生，这种现象在有界对称超有理数中存在。需要注意的是，外围元素将 0⁻¹ 的问题与溢出和下溢问题分开了。

关于浮点数的有限性，超有理数模型的构建源于对有序域的一般构建。这意味着该构建方法不适用于没有序关系的有限域。要为对称超有理数获得有限结构，需要处理一个有限但有序的数字集，这正是浮点数运算中所发生的情况。向有限数字集的过渡可分解为两个步骤，这两个步骤可以按任意顺序进行：
1. 对数字的大小施加界限；
2. 对数字的相对精度施加界限，同时认为每个数字作为其相邻有理数的近似值。目前仅研究了考虑大小界限的结果。

1.1 浮点数运算特殊值总结