9、对称超有理数：数据类型及其等式理论的算法复杂度

对称超有理数：数据类型及其等式理论的算法复杂度

在计算机系统的设计与实现中，实数往往是设计的理论基础，而实际部署则依赖于计算机算术，这些算术本质上是有理数范围内的数据类型。本文将介绍一种为有理数计算设计的新型算术数据类型——对称超有理数，并探讨其相关特性和等式理论的算法复杂度。

1. 引言

经典数学将有理数视为一个域，即一个每个非零元素都有唯一乘法逆元的交换环，配备常量 0、1 以及加法、取负和乘法运算。然而，仅使用这些运算符，有理数并不符合数据类型的定义，因为该域不是最小代数，即并非代数中的每个元素都能通过对常量应用运算符来构造。为了满足最小性要求，需要添加逆元或除法运算符，但这些运算符在 0 处并非全函数。这种带有逆元或除法的代数被称为草甸。

本文提出的新数据类型基于抽象数据类型理论，受常见浮点约定的启发，具有以下三个特点：
- 全运算 ：所有操作都是全函数。
- 处理溢出和下溢 ：能够处理数值超出范围的情况。
- 对接近 0 的值敏感 ：在数值接近 0 时，计算具有敏感性。

2. 抽象数据类型基础理论

抽象数据类型理论基于四个基本概念：
- 数据类型的实现 ：由签名为 Σ 的多排序代数 A 建模，本文的代数为单排序且具有非空载体。
- 签名 Σ ：是数据类型实现的接口，其中声明的常量和操作是程序员访问数据的唯一途径。
- Σ - 最小代数 ：如果代