9、基于线性矩阵不等式（LMI）的非线性系统控制方法

基于线性矩阵不等式（LMI）的非线性系统控制方法

1. 非线性系统稳定化

1.1 系统描述

考虑一个满足Lipschitz条件的非线性系统：
$\dot{x} = f(x) + Ax + Bu$
其中，$x\in R^n$，$u\in R^n$，$A\in R^{n\times n}$，$B\in R^{n\times n}$，非线性函数$f(x)$满足Lipschitz条件：
$|f(x) - f(\bar{x})| \leq |L(x - \bar{x})|$
这里$L$是Lipschitz常数矩阵。控制目标是使系统状态$x$指数收敛到零。

1.2 控制器设计

设计控制器为：
$u = Fx - B^{-1}f(0)$
其中$F$是状态反馈增益，可通过线性矩阵不等式（LMI）求解。

有如下定理：若满足以下LMI：
$\begin{bmatrix}
\alpha P + A^TP + M^T + PA + M + L^TL & P \
P & -I
\end{bmatrix} < 0$
其中$F = (PB)^{-1}M$，$\alpha > 0$，则闭环系统是指数稳定的。

证明过程使用了Lyapunov函数$V = x^TPx$，通过一系列推导得出结论。从$\alpha V + \dot{V} \leq 0$，利用相关引理可得$V(t) \leq V(0)e^{-\alpha t}$，即当$t \to \infty$时，$V(t) \to 0$，$x \to 0$。可以使用