4、基于秩的回归方法介绍

基于秩的回归方法介绍

在数据分析和统计建模中，线性回归是一种常用的工具。然而，传统的最小二乘法（LSE）在某些情况下存在局限性，特别是当数据维度较高或存在异常值时。本文将介绍基于秩的回归方法，这种方法可以有效缓解这些问题，提供更稳健的估计。

1. 基于秩的方法动机

传统的最小二乘法在处理高维数据时实现起来较为复杂，并且其崩溃点会降低。为了替代最小二乘法，我们可以考虑基于中位数的方法，但这些方法也存在一些问题。幸运的是，基于秩的方法可以缓解这些问题。

1.1 位置模型中的秩应用

考虑位置模型：
[y_i = \theta + \varepsilon_i, \quad i = 1, \ldots, n]
其中 (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n) 是独立同分布的随机变量。位置模型的目的是估计随机变量 (Y) 的样本 (y_1, \ldots, y_n) 的中心。理论上，中位数可以通过 L1 损失函数获得：
[B_n(\theta) = \sum_{i=1}^{n} |y_i - \theta|]
中位数估计为：
[\hat{\theta} {median}^n = \arg\min {\theta \in \mathbb{R}} {B_n(\theta)}]
其梯度函数为：
[B_n’(\theta) = - \sum_{i=1}^{n} \text{sgn}(y_i - \theta)]
然而，绝对值损失函数的一阶导数不连续，这会导致一些理论问题。为了解决这个问题，我们可以将 L1 损失函数中的各项乘以它们的秩，形成基