55、可互换变量和值的对称性破缺

可互换变量和值的对称性破缺

1. 特殊情况分析

在变量和值的对称性破缺问题中，存在一些特殊情况值得深入探讨。

1.1 变量不可互换

当存在可互换的值，但没有变量对称性时（即 $a = n$ 且 $b < m$），为了消除所有对称解，引入了值优先级（value precedence）的概念。具体而言，$PRECEDENCE(k, [X_1, .., X_n])$ 成立的条件是：$min{i | X_i = d_k ∨ i = n + 1} < min{i | X_i = d_{k + 1} ∨ i = n + 2}$。这意味着 $d_k$ 的首次使用时间要早于 $d_{k + 1}$，从而防止了这两个值的互换。

可以证明，在这种情况下，$SIGLEX$ 约束与值优先级是等价的。当 $n = a$ 时，$SIGLEX$ 内部计算的向量 $(O_1^k, .., O_a^k)$ 和 $(O_1^{k + 1}, .., O_a^{k + 1})$ 是 $n$ 元的 0/1 向量，它们代表了 $d_k$ 和 $d_{k + 1}$ 出现的索引。对这些向量进行字典序排序，确保了要么 $d_k$ 在 $d_{k + 1}$ 之前使用，要么两者都不使用，这与值优先级的定义是一致的。

虽然 $SIGLEX$ 和 $PRECEDENCE$ 的传播器具有相同的渐近成本，但由于 $PRECEDENCE$ 引入的中间变量更少，所以可能更受青睐。

1.2 所有变量和值都可互换

当所有变量和值都完全可互换时（即 $a = b = 1$），为了消除对称解，引入了 $DECSEQ$ 约束。$DECSEQ([X_1