3、利用牛顿法进行程序分析

利用牛顿法进行程序分析

1. 半环相关基础

通过将定义中的集合 $A$ 实例化为赋值集合 $\text{Var} \to \text{Bool}$，可以得到一个半环，其值能够对程序 $P$ 的状态转换器进行编码。与程序 $P$ 的赋值语句或假设语句 $st$ 相关联的半环值，是集合 $A$ 上的二元关系，它代表了语句 $st$ 对程序 $P$ 状态的影响。

在本文中，重点关注的是 $\oplus$ 满足幂等性的半环（即对于所有 $a \in D$，都有 $a \oplus a = a$）。在幂等半环中，元素的顺序定义为：$a \sqsubseteq b$ 当且仅当 $a \oplus b = b$。在数据流分析中，幂等性是可以预期的，因为幂等半环是一个并半格 $(D, \oplus)$，其中并运算为 $\oplus$。

若对于所有 $a, b \in D$，都有 $a \otimes b = b \otimes a$，则称该半环是可交换的。在数据流分析中，通常使用的是非交换半环，因为式 (2) 中使用的 $\otimes$ 运算实际上是（反向的）函数复合的一种抽象，所以一般来说它不满足交换律。

2. 牛顿程序分析（NPA）

2.1 NPA 的起源

牛顿程序分析（NPA）为解决如式 (2) 这样的方程组提供了一种替代方法，可替代传统的克莱尼迭代或混沌迭代。其发展的第一步源于对递归马尔可夫链（RMCs）性质的分析方法，RMCs 是一种用于对可能包含递归过程的概率程序进行建模的形式化方法。为了确定模型中顶点的终止概率，Etessami 和 Yannakakis 生成了一组通常为非线性的方程。由于答案可能是无理数，无法精