19、傅里叶变换与数据处理：窗口函数及插值方法详解

傅里叶变换与数据处理：窗口函数及插值方法详解

1. 傅里叶变换前的窗口处理

在计算连续时间序列的功率谱密度时，我们需要决定使用时间序列的多长片段。通常，片段越长越好，因为长片段更能代表整个时间序列的特性，并且能提供更高的分辨率（频率采样 $\Delta\omega$ 与 $N^{-1}$ 成比例）。但实际中数据往往稀缺，所以更多时候我们要考虑如何利用短片段数据。

可以通过将无限长的时间序列 $d(t)$ 与窗口函数 $W(t)$ 相乘来创建时间序列的短片段，窗口函数在片段外的值为零。最简单的窗口函数是矩形窗函数，它在区间内值为 1，区间外为 0。关键问题是窗口处理对时间序列的傅里叶变换有什么影响，即 $W(t)d(t)$ 的傅里叶变换与 $d(t)$ 的傅里叶变换有何不同。这可以通过卷积定理来分析，两个时间序列的卷积的傅里叶变换是它们各自傅里叶变换的乘积，而时间和频率在傅里叶变换中具有对称作用，所以两个时间序列的乘积的傅里叶变换是它们各自变换的卷积。窗口处理相当于将时间序列的傅里叶变换与窗口函数的傅里叶变换进行卷积。

从这个角度看，具有尖峰状傅里叶变换的窗口函数是最好的，因为与尖峰卷积不会改变函数本身。矩形窗的傅里叶变换是 sinc 函数，它有一个中心尖峰，但也有旁瓣，这些旁瓣会在加窗时间序列 $W(t)d(t)$ 的频谱中产生原时间序列 $d(t)$ 频谱中不存在的峰值，这些伪像很容易被误认为是数据中的真实周期性。

解决方法是使用更好的窗口函数，即傅里叶变换旁瓣较弱的函数。它在区间外必须为零，但在区间内的形状可以灵活选择。许多这样的函数（或锥度）已被提出，其中一种流行的是汉明窗口函数（或汉明锥度）：
$W(t_k) = 0.54 - 0.46\co