10、环境数据分析中的概率密度函数与最小二乘法应用

环境数据分析中的概率密度函数与最小二乘法应用

1. 概率密度函数的乘积性质

在概率分析中，我们可以通过将差异吸收到归一化中消除不一致性。在归一化因子的作用下，两个正态概率密度函数的乘积仍是正态概率密度函数，即 $p_c(m) = p_a(m)p_b(m)$。

在不相关且方差相等的情况下，有如下规则：
- $\sigma^{-2}_c = \sigma^{-2}_a + \sigma^{-2}_b$
- $\mu_c = (\sigma^{-2}_a + \sigma^{-2}_b)^{-1}(\sigma^{-2}_a \mu_a + \sigma^{-2}_b \mu_b)$

若其中一个分量概率密度函数（如 $p_a(m)$）不包含信息（即 $C_a^{-1} \to 0$），那么这种乘法对协方差矩阵和均值没有影响，即 $C_c^{-1} = C_b^{-1}$ 且 $\mu_c = \mu_b$。当 $p_a(m)$ 和 $p_b(m)$ 都包含信息时，乘积的协方差通常小于任一概率密度函数的协方差，均值 $\mu_c$ 位于连接 $\mu_a$ 和 $\mu_b$ 的直线上。

2. 广义最小二乘法

广义最小二乘法旨在结合先验信息和观测数据来估计模型参数。通过求下式的众数来推导模型参数的估计值：
$p(m|d) \propto \exp\left{-\frac{1}{2} E_T(m)\right}$
其中 $E_T(m) = E_p(m) + E(m) = (Hm - \mu_h)^T[C_h]^{-1}(Hm - \mu_h) + (Gm - d)^T[C_d]^{-1}(Gm - d)$