7、降维与主成分分析（PCA）详解

降维与主成分分析（PCA）详解

1. 维度诅咒与降维的必要性

在处理数据集时，当样本数量不变，但每个样本增加额外的特征（例如增加 z 坐标），数据所占据的空间会增大。假设原本数据占据的空间约为 2x2 = 4 平方单位，增加特征后变为 2x2x2 = 8 立方单位。此时样本数量相同，但数据在可用空间中所占的相对体积变小，变得更加稀疏。这就是维度诅咒：随着可用特征数量的增加，数据的稀疏性增加，使得统计上有效的相关性更难发现。

以创建一个与人类玩家对战的视频游戏机器人为例，假设有 12 种不同类型的特征，如速度、速度变化、加速度、技能水平、所选武器和可用弹药等。由于每个特征可能取值的范围不同，以及每个特征给数据集带来的方差不同，数据可能会极其稀疏。即使在像吃豆人这样规则相对受限的游戏世界中，每个特征的潜在方差也可能相当大，且差异明显。

如果不处理数据集的稀疏性问题，虽然增加特征能让我们获得更多信息，但由于难以找到有效的统计相关性，可能无法提升机器学习模型的性能。因此，我们需要一种方法既保留额外特征带来的有用信息，又能减少稀疏性的负面影响，这正是降维技术的目标，它对提升机器学习模型的性能非常有效。

2. 降维技术概述

降维技术通常是分类阶段前的重要预处理步骤，其目标是在保留有用信息的同时，处理数据集的稀疏性问题。大多数降维技术通过特征投影的方式来实现这一目标，即将数据从高维空间调整到低维空间，以消除数据的稀疏性。

例如，将三维空间中的球体投影到二维空间，会得到一个圆。在这个过程中，虽然会损失一些信息（如 z 坐标的值），但仍能保留描述球体原始形状的大部分信息，如圆心、半径和轮廓等。根据我们要解决的问题，通过这种方式可以在保