7、马尔可夫链极限定理与采样退火算法解析

马尔可夫链极限定理与采样退火算法解析

1. 非齐次马尔可夫链极限定理

在马尔可夫链的研究中，非齐次马尔可夫链有着独特的性质和应用。下面我们将详细探讨非齐次马尔可夫链的极限定理。

首先，有一个简单的引理：
- 引理 4.4.1 ：若(\mu_n)（(n > 1)）是(X)上的概率分布，且(\sum_{n}|\mu_{n + 1} - \mu_n| < \infty)，则存在一个概率分布(\mu_{\infty})，使得当(n \to \infty)时，(\mu_n \to \mu_{\infty})（在(|\cdot|)范数下）。由于(X)是有限的，逐点收敛和(L^1)范数收敛是等价的。
- 证明 ：对于(m < n)，(|\mu_n - \mu_m| \leq \sum_{k \geq m}|\mu_{k + 1} - \mu_k|)，当(m \to \infty)时，该式趋于零。所以({\mu_n})是紧空间({\mu \in R^X : \mu \geq 0, \sum_{x \in X}\mu(x) = 1})中的柯西序列，因此在该集合中有极限。

非齐次马尔可夫链的极限定理表述如下：
- 定理 4.4.1 ：设(P_n)（(n > 1)）是马尔可夫核，且每个(P_n)都有一个不变概率分布(\mu_n)。进一步假设满足以下条件：
- (\sum_{n}|\mu_n - \mu_{n + 1}| < \infty) （条件 4.3）
- 对于每个(i > 1)，(\lim_{n \