24、关系词上的插入 - 删除系统

关系词上的插入 - 删除系统

可达性问题的可判定性

可达性问题是指，对于给定的插入 - 删除系统 (S) 以及两个完全定义的关系词 (V) 和 (W)，确定是否有 (W \Rightarrow_S^* V)。这里我们考虑简单的插入 - 删除系统 (S = ({I}, {D}))，它属于 (I2D3 \cup I3D2)，即插入集 (INS) 和删除集 (DEL) 都只包含一条规则，并且插入规则长度为 2 且删除规则长度为 3，或者插入规则长度为 3 且删除规则长度为 2。

可以证明，对于给定的简单插入 - 删除系统 (S \in I2D3 \cup I3D2) 和两个完全定义的关系词 (V) 和 (W)，可达性问题是可判定的。
- 引理 1 ：对于每个插入 - 删除系统 (S) 以及任意的 (W, V \in RW)，如果 (W \Rightarrow_S^ V)，那么存在 (Y \in RW) 使得 (W \xrightarrow{ins}_S^ Y \xrightarrow{del}_S^ V)。
- 相关矩阵 ：由于关系 (E) 的传递性，长度为 2 的完全定义的关系词只有 2 种不同的形式，长度为 3 的有 5 种不同的形式，因此 (I3D2) 和 (I2D3) 中各有 10 个插入 - 删除系统。相关矩阵如下：
- (M_1^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix})
- (M_2^2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 1\end{pmatrix})
- (M_1^3 = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1\end{pmatrix})
- (M_2^3 = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})
- (M_3^3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1\end{pmatrix})
- (M_4^3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1\end{pmatrix})
- (M_5^3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})
- 引理 2 ：对于每个简单插入 - 删除系统 (S \in I2D3 \cup I3D2) 和每个关系词 (W)，都有 (W \Rightarrow_S^ \varepsilon)。证明时需要考虑三种情况：
1. (|I| = 2)，(|D| = 3)，且与 (I) 关联的矩阵是与 (D) 关联的矩阵的子矩阵。
2. (|I| = 3)，(|D| = 2)，且与 (D) 关联的矩阵是与 (I) 关联的矩阵的子矩阵。
3. 与 (I) 关联的矩阵不是与 (D) 关联的矩阵的子矩阵，反之亦然。

下面是这三种情况的具体分析：
|情况|分析|
|----|----|
|情况 1|若 (I) 可通过删除 (D) 的第一行和第一列得到，则在 (V) 后插入 (I)，得到一个与 (D) 不矛盾的矩阵，从而可应用删除规则；若 (I) 可通过删除 (D) 的第三行和第三列得到，则在 (V) 前插入 (I)，同样可得到可删除的矩阵。|
|情况 2|先在 (V) 后插入 (I)，然后对 (I) 中与 (D) 重合的部分应用删除规则，得到一个由两个符号组成且符号间关系未定义的词，可将其删除。|
|情况 3|假设 (S \in I3D3)，存在特定的推导过程使 (V) 最终可被删除；假设 (S \in I2D3)，也存在相应的推导过程使 (V) 最终可被删除。|

由于可以删除任何孤立符号，所以可以对关系词 (W) 的每个符号应用上述序列，从而删除整个词。

• 推论 1 ：设 (S) 是一个简单插入 - 删除系统，且 (S \in I2D3 \cup I3D2)。对于任意完全定义的关系词 (V) 和 (W)，有 (V \Rightarrow_S^ W) 当且仅当存在 (W’ \in RW) 使得 (W) 是 (W’) 的完全定义的分散子词，且 (V \Rightarrow_S^ W’)。
• 引理 3 ：设 (S = ({I}, {D})) 是一个简单插入 - 删除系统，且 (S \in I2D3 \cup I3D2)，如果 (I) 或 (D) 包含不相等的符号，那么对于每个 (W \in FDRW)，存在一个常数 (k \in N)，使得对于每个 (V \in FDRW)，若 (W \Rightarrow_S^* V)，则 (|V| \leq k)。
• 引理 4 ：设 (S = ({I}, {D})) 是一个来自 (I2D3 \cup I3D2) 的简单插入 - 删除系统，且插入和删除规则中的所有符号都相等。对于每个 (V, W \in FDRW)，有 (W \Rightarrow_S^* V) 当且仅当 (Str(V) = Str(W’))，其中 (W’) 是 (W) 的子词。这里定义了一个映射 (Str: FDRW \to FDRW)，对于每个完全定义的关系词 (W)，通过从 (W) 的每个由相等元素组成的最大子词 (u) 中移除 (|u| - 1) 个元素及其对应关系，得到 (Str(W))，它描述了 (W) 的结构。

可达性问题可判定性的证明

对于给定的简单插入 - 删除系统 (S \in I2D3 \cup I3D2) 和完全定义的关系词 (V) 和 (W)，判断 (W \Rightarrow_S^ V) 是否成立，分两种情况：
1. 插入和删除规则中的所有符号都相等 ：根据引理 4，(W \Rightarrow_S^ V) 当且仅当 (W) 中存在子词 (W’) 使得 (W’) 和 (V) 具有相同的结构，即 (S(V) = S(W’))，这种情况下可达性问题显然是可判定的。
2. (I) 或 (D) 包含不相等的符号 ：由引理 3 可知，集合 (FDLS(W) = {V \in FDRW | W \Rightarrow_S^* V}) 是有限的，因为该集合中词的长度受一个仅依赖于 (S) 和 (W) 参数的常数 (k) 限制。可以通过构建推导树在有限时间内得到 (FDLS(W)) 中的所有词。

下面是可达性问题可判定性证明的流程：

graph TD;
    A[给定简单插入 - 删除系统 S 和关系词 V, W] --> B{插入和删除规则符号情况};
    B -- 都相等 --> C[根据引理 4 判断是否存在子词 W' 使 S(V)=S(W')];
    C --> D[可判定可达性];
    B -- 存在不相等 --> E[根据引理 3 确定集合 FDLS(W) 有限];
    E --> F[构建推导树获取 FDLS(W) 所有词];
    F --> D;

通用性

如果插入和删除的词的长度可以很大，那么相应的插入 - 删除系统可以产生任何递归可枚举语言的编码。这里定义一个函数 (f: A^* \to RW)（其中 (A) 是字母表），如果它满足 (f(uv) = f(u)f(v))，则称其为态射。进一步限制考虑那些对于任意 (a \in A) 有 (f(a) \in FDRW) 的态射。

• 定理 2 ：对于任意有限字母表 (A) 上的递归可枚举语言 (L) 以及任意（可能无限）字母表 (V)（(|V| > 2)），存在一个关系词上的插入 - 删除系统 (S = (V, INS, DEL, A)) 和一个态射 (h)，使得 (L = h^{-1}(L(S)))。

证明过程如下：
已知任何递归可枚举语言都可以由一个上下文无关的插入 - 删除系统使用有限字母表上的字符串生成，插入和删除的词的大小分别为 3 和 2。因此存在一个具有上述参数的插入 - 删除系统 (S’ = (V’, T’, INS’, DEL’, A’)) 使得 (L(S’) = L)。
定义态射 (c: A \to FDRW) 为 (c(a_i) = (ab)^K a_i (ba)^K)，(1 \leq i \leq n)，其中 (n = |A|) 且 (K > n + 2)，称 (c(a_i)) 为字母 (a_i) 的编码。若 (c^{-1}(w) \neq \varnothing)，则称 (w \in RW) 为规范形式。将 (c) 扩展到语言，令 (INS = c(INS’))，(DEL = c(DEL’))，(A = c(A’))，并定义 (h(a) = c(a))（若 (a \in T’)）。
可以证明 (L = h^{-1}(L(S)))：
- 首先，由 (S) 的构造可知 (L(S)) 包含了用于从 (L(S’)) 中获取词的所有句子形式的 (c) 映像。
- 其次，逆态射 (h^{-1}) 只允许选择对应于 (T’) 中终结字母编码串联的规范形式的关系词，其应用结果是 (L(S’)) 中的词，所以 (L \subseteq h^{-1}(L(S)))。
- 为证明 (L \supseteq h^{-1}(L(S)))，需要证明除了对应于 (S’) 推导的词之外，无法得到其他词。

由于递归可枚举语言的成员问题是不可判定的，因此有以下推论：
- 推论 2 ：给定一个插入 - 删除系统 (S = (V, INS, DEL, A)) 和一个关系词 (X)，判断 (X \in L(S))（即是否存在 (Z \in A \cup {\varepsilon}) 使得 (Z \Rightarrow_S^* X)）是不可判定的。

进一步的扩展

关系词的概念非常丰富，它允许对字符串大小和元素域都无界的计算过程进行推理。插入 - 删除系统在关系词上的操作可以有以下两种扩展：
1. 重写操作 ：重写规则 (u \to v) 可以看作是在相应位置删除 (u) 并插入 (v)。通过一些小的技术修改，可以将插入和删除的定义合并为一个重写操作的定义。在重写情况下，定理 2 的对应情况变得很简单，因为插入和删除操作的同步只允许相邻编码词的重写。
2. 上下文或受控变体 ：考虑字符串插入和删除操作的上下文或受控变体，即插入或删除操作在特定上下文中进行。可以将左上下文和右上下文合并为一个词，使用模式匹配步骤，然后在上下文指定的位置插入新词，并保持上下文与插入词之间的关系。例如，规则 ((a, ab, b)) 会在词中找到两个不相等符号的出现，并在它们之间插入两个分别等于当前位置左侧（或右侧）符号的符号。删除操作可以类似定义。在上下文插入和删除的情况下，定理 2 的对应情况也很简单，因为可以使用整个符号的编码作为左右上下文，这意味着操作只能在编码词相邻（即规范形式）时进行。

关系词上的插入 - 删除系统

重写操作与上下文或受控变体的详细分析

上文中提到了插入 - 删除系统在关系词上操作的两种扩展，下面对其进行更详细的分析。

重写操作的具体实现

重写规则 (u \to v) 本质上是删除 (u) 并在相同位置插入 (v)。具体操作步骤如下：
1. 定位 (u) 的位置 ：在关系词中查找 (u) 的出现位置。
2. 删除 (u) ：将找到的 (u) 从关系词中移除。
3. 插入 (v) ：在 (u) 被删除的位置插入 (v)，同时保持其他部分的关系不变。

例如，对于关系词 (w = xuy)，应用重写规则 (u \to v) 后，得到新的关系词 (w’ = xvy)。

这种重写操作使得插入和删除操作同步进行，限制了操作的范围，只允许对相邻的编码词进行重写。这是因为在插入 (v) 时，需要与删除 (u) 的位置精确对应，从而保证关系词的结构和关系的一致性。

上下文或受控变体的操作流程

上下文或受控变体的插入和删除操作是在特定上下文中进行的。具体步骤如下：
1. 合并上下文 ：将左上下文和右上下文合并为一个词。
2. 模式匹配 ：在关系词中查找与合并后的上下文匹配的位置。
3. 插入或删除操作 ：
- 插入操作 ：在匹配位置插入新词，并保持上下文与插入词之间的关系。例如，对于规则 ((a, ab, b))，当在关系词中找到两个不相等符号（如 (a) 和 (b)）时，在它们之间插入两个分别等于当前位置左侧（或右侧）符号的符号。
- 删除操作 ：类似地，根据上下文确定删除的位置和范围，然后进行删除操作。

下面是上下文或受控变体操作的流程图：

graph TD;
    A[关系词] --> B[合并上下文];
    B --> C[模式匹配];
    C -- 匹配成功 --> D{操作类型};
    D -- 插入 --> E[插入新词并保持关系];
    D -- 删除 --> F[删除指定部分];
    C -- 匹配失败 --> G[结束操作];

插入 - 删除系统的应用与意义

插入 - 删除系统在关系词上的研究具有重要的应用价值和理论意义。

应用价值

• 计算过程建模 ：关系词的概念允许对字符串大小和元素域都无界的计算过程进行建模。例如，在“pick and place”机器人的操作中，机器人需要处理不同大小和位置的物体，关系词可以用来描述物体之间的关系和操作过程，插入 - 删除系统则可以模拟机器人的“拾取”和“放置”操作。
• 语言处理 ：插入 - 删除系统可以用于生成和处理各种语言，特别是递归可枚举语言。通过对插入和删除规则的设计，可以实现对语言的编码和解码，从而在自然语言处理、编程语言设计等领域有潜在的应用。

理论意义

• 可判定性研究 ：可达性问题的可判定性研究为插入 - 删除系统的理论分析提供了基础。通过对不同类型的插入 - 删除系统（如 (I2D3 \cup I3D2) 中的简单系统）的研究，我们可以了解系统的计算能力和限制，为进一步的理论发展提供依据。
• 通用性证明 ：定理 2 证明了插入 - 删除系统在一定条件下可以产生任何递归可枚举语言的编码，这表明插入 - 删除系统具有很强的通用性，为计算理论的研究提供了新的视角。

总结

插入 - 删除系统在关系词上的研究涉及多个方面，包括可达性问题的可判定性、通用性以及操作的扩展等。以下是对这些内容的总结表格：
|研究内容|主要结论|
|----|----|
|可达性问题的可判定性|对于简单插入 - 删除系统 (S \in I2D3 \cup I3D2)，可达性问题可根据插入和删除规则中符号是否相等分为两种情况进行判定。|
|通用性|插入 - 删除系统在插入和删除词长度可大可小的情况下，可以产生任何递归可枚举语言的编码。|
|操作扩展|包括重写操作和上下文或受控变体操作，这两种扩展在特定情况下可以简化相关问题的处理。|

通过对这些内容的研究，我们不仅可以深入理解插入 - 删除系统在关系词上的行为和性质，还可以将其应用到实际的计算和语言处理中，为相关领域的发展提供有力的支持。未来，我们可以进一步探索插入 - 删除系统在更多复杂场景下的应用，以及对其理论性质的更深入研究。