22、一维带状态的机器人游戏复杂度分析

neovim7hacker

于 2025-10-23 09:05:31 发布

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分类专栏：可达性问题研究前沿文章标签：一维带状态机器人游戏复杂度分析 EXPSPACE

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一维带状态的机器人游戏复杂度分析

1. 符号与定义

集合表示 ：用 (Z) 表示所有整数的集合，(Z^-) 表示非正整数集合，(Z^+) 表示非负整数集合。(0^n) 表示 (n) 维零向量。
区间定义 ：开区间 ((a, b)) 是 (Z) 的子集，包含所有大于 (a) 且小于 (b) 的整数；闭区间 ([a, b] = (a, b) \cup {a, b})，半开区间定义类似。对于 (X \subseteq Z) 和 (d \in Z)，(X + d = {x + d | x \in X})，(dX = {dx | x \in X})。

1.1 (n) 维计数器可达性游戏（(nCRG)）

游戏结构 ：由有向图 (G = (V, F)) 组成，顶点集 (V) 分为 (V_E) 和 (V_A) 两部分，每条边 (e \in F \subseteq V \times Z^n \times V) 用 (Z^n) 中的向量标记。
游戏配置 ：游戏的一个配置是 ([v, x])，后续配置是 ([v’, x + x’])，其中边 ((v, x’, v’) \in F) 由玩家 1（若 (v \in V_E)）或玩家 2（若 (v \in V_A)）选择。
玩家目标 ：玩家 1（Eve）的目标是从给定的初始配置 ([v_0, x_0]) 到达最终配置 ([v_f, 0^n])（(v_f \in V)），玩家 2（Adam）的目标是阻止 Eve 到达该配置。
策略定义 ：玩家的策略是一个将配置映射到可应用边的函数。若 Eve 能无论 Adam 采取何种策略都能到达最终配置，则称 Eve 有获胜策略；反之，若 Eve 没有获胜策略，则称 Adam 有获胜策略。在图中，用 ⃝ 表示 Eve 的状态，□ 表示 Adam 的状态（菱形表示任意顶点）。

1.2 (n) 维机器人游戏（(nRG)）

游戏结构 ：是计数器可达性游戏的特殊情况，图仅由两个顶点组成，Adam 的 (v_0) 和 Eve 的 (v)。
游戏目标 ：目标配置是 ([v_0, 0^n])。游戏由 Eve 和 Adam 两个玩家组成，分别拥有 (Z^n) 上的向量集 (E) 和 (A)，以及初始向量 (x_0)。玩家从 (x_0) 开始轮流将各自集合中的向量添加到当前游戏配置中。
决策问题 ：对于给定的机器人游戏 ((A, E)) 和 (x_0)，决定 Eve 是否有从 (x_0) 到达 (0^n) 的获胜策略。

1.3 带状态的机器人游戏（RGS）

游戏结构 ：是机器人游戏的扩展，玩家有控制状态。(nRGS) 由 ((A, E)) 组成，其中 (A) 是 (Q_A \times Z^n \times Q_A) 的有限子集（Adam 在其回合可应用），(E) 是 (Q_E \times Z^n \times Q_E) 的有限子集（Eve 在其回合可应用），以及初始配置 ([s_0, t_0, x_0] \in Q_E \times Q_A \times Z^n)。
游戏配置 ：配置现在是一个三元组 ([s, t, v])，包括 Eve 的控制状态 (s)、Adam 的控制状态 (t) 和计数器向量 (v \in Z^n)。Eve 移动时更新其控制状态，在配置 ([s, t, v]) 中，对于任何向量 (v)，仅启用 ((s, x, s’)) 形式的移动，移动后新配置为 ([s’, t, v + x])；Adam 移动时也类似更新其控制状态。
获胜条件 ：Eve 获胜当且仅当在她的回合后，配置为 ([s, t, 0^n])（(s \in F \subseteq Q_E)）。相关决策问题是对于给定配置，决定 Eve 是否有获胜策略。
回合表示 ：为了表示配置 ([s, t, v]) 中轮到谁，若轮到 Eve，在 (s) 上加一个点；若轮到 Adam，在 (t) 上加一个点，即分别为 ([\dot{s}, t, v]) 和 ([s, \dot{t}, v])。在图中，点放在状态内（如 Adam 回合时用 ⊡ 表示）。

1.4 带状态的扁平机器人游戏（FRGS）

游戏结构 ：是 RGS 的子类，Eve 无状态，即 Eve 的所有移动形式为 ((s, z, s))，Adam 的状态是扁平的，即底层图是带有自环的有向无环图。存在 Adam 状态的排序 ({t_0, \ldots, t_k})，使得仅当 (i \leq j) 时，((t_i, z, t_j) \in A)。与通常的扁平系统定义不同，允许一个状态有多个自环。

2. 一维带状态的机器人游戏

2.1 已知结果回顾

定理 1 ：确定一维计数器可达性游戏的获胜者是 EXPSPACE 完全问题。
定理 2 ：确定一维机器人游戏的获胜者是 EXPTIME 完全问题。

由于机器人游戏是带状态机器人游戏的特殊情况，所以一维带状态的机器人游戏（(1RGS)）是 EXPTIME 难问题。同时，可以通过将 (1RGS) 中 Eve 的状态信息存储在 Adam 的状态中，反之亦然，构造一个计数器可达性游戏，因此 (1RGS) 属于 EXPSPACE。

2.2 (1RGS) 的复杂度证明

引理 3 ：确定一维带状态的机器人游戏的获胜者是 EXPSPACE。
- 证明：设 ((A, E)) 是一个 (1RGS)，(z_0 \in Z) 是初始整数。构造一个计数器可达性游戏 ((V, F))，其中 Eve 的状态 (V_E = {st | s \in Q_E, t \in Q_A})，Adam 的状态 (V_A = {ts | t \in Q_A, s \in Q_E})。图的边 (F = {(st, z, ts’) | (s, z, s’) \in E} \cup {(ts, z, st’) | (t, z, t’) \in A})。显然，Eve 在 ((A, E)) 中从 (z_0) 有获胜策略当且仅当她在 ((V, F)) 中从 (z_0) 有获胜策略。由于确定 (1CRG) 的获胜者是 EXPSPACE 完全问题，所以确定 (1RGS) 的获胜者也是 EXPSPACE 问题。
定理 4 ：一维带状态的机器人游戏是 EXPSPACE 完全问题。
- 证明思路 ：首先对 (1CRG) 进行简单修改，假设每个 Adam 的状态最多有两条出边。通过构造一个一维带状态的机器人游戏，使得两个游戏的获胜者相同，从而证明 (1RGS) 是 EXPSPACE 难问题。
- 具体构造 ：
  - 修改 (1CRG) : 对于 Adam 的顶点 (t) 有 (k) 条出边的情况，用链 (t_1, \ldots, t_{k - 1}) 替换它，使得第 (i) 条边 ((t, z, t’)) 变为 ((t_i, z, t’))，最后用边 ((t_i, 0, t_{i + 1}))（(i \in {1, \ldots, k - 1})）和 ((t, 0, t_1)) 连接这些顶点。
  - 构造小工具 :
    - 情况 1: Adam 无需决策 ：对于边 ((s, z, r)) 和 ((t, z, r))（(z \in Z)，(s \in V_E)，(r \in V)，(t \in V_A) 且 (\text{deg}(t) = 1)），在带状态的机器人游戏中，Eve 有移动 ((s, 4z, r)) 和 ((t, 4z, r))，Adam 有移动 ((\top, 0, \top))。
    - 情况 2: Adam 需要决策 ：对于边 ((t, y, p)) 和 ((t, x, q))（(p, q \in V)，(t \in V_A) 且 (\text{deg}(t) = 2)），在带状态的机器人游戏中，Eve 有小工具移动 ((t, 4y - 1, p)) 和 ((t, 4x + 1, q))，Adam 有移动 ((\top, 1, \top)) 和 ((\top, -1, \top))。通过将所有旧标签乘以 4，为存储 Eve 应选择的边的信息创造了额外空间。
    - 防止 Adam 滥用移动 ：设计 Eve 的清空小工具，由一个状态 ⊥ 组成，移动为 ((\perp, \pm 4 + 1, \perp))，((\perp, \pm 4 - 1, \perp)) 和 ((\perp, \pm 4, \perp))。该小工具通过移动 ((s, \pm 1, \perp))（(s \in V_E) 或 (s \in V_A) 且 (\text{deg}(s) = 1)）和 ((t, 0, \perp))（(t \in V_A) 且 (\text{deg}(t) = 2)）与 Eve 的状态相连。
- 错误移动分析 ：
  - Adam 错误移动 ：
    - 若 Eve 不在 Adam 需要决策的状态时 Adam 移动 (\pm 1)，Eve 可以移动到 ⊥ 并在清空计数器的同时抵消 Adam 的移动。
    - 若 Eve 在 Adam 需要决策的状态时 Adam 移动 0，Eve 可以不修改计数器移动到 ⊥ 并清空计数器同时抵消 Adam 的移动。
  - Eve 错误移动 ：
    - 在 Adam 未错误移动前移动到清空小工具，或未根据 Adam 的移动做出正确决策（如 Adam 移动 -1 后 Eve 移动 (4y - 1) 或 Adam 移动 1 后 Eve 移动 (4x + 1)），Adam 可以确保计数器永远不为 0（模 4）。
- 引理证明 ：
  - 引理 5 ：设配置为 ([s, \dot{\top}, 4z])（(z \in Z)，(s \in V_E) 或 (s \in V_A) 且 (\text{deg}(s) = 1)）。若 Adam 移动 ((\top, 1, \top))，则 Eve 从 ((s, -1, \perp)) 开始有获胜策略；若 Adam 移动 ((\top, -1, \top))，则 Eve 从 ((s, 1, \perp)) 开始有获胜策略。
  - 引理 6 ：设配置为 ([t, \dot{\top}, 4z])（(z \in Z)，(t \in V_A) 且 (\text{deg}(t) = 2)）。若 Adam 移动 ((\top, 0, \top))，则 Eve 从 ((t, 0, \perp)) 开始有获胜策略。
  - 引理 7 ：设配置为 ([\dot{s}, \top, 4z])（(z \in Z)，(s \in V_E) 或 (s \in V_A) 且 (\text{deg}(s) = 1)）。若 Eve 用移动 ((s, 1, \perp)) 或 ((s, -1, \perp)) 移动到 ⊥，则 Adam 从 ((\top, 1, \top)) 或 ((\top, -1, \top)) 开始有获胜策略。
  - 引理 8 ：设配置为 ([\dot{t}, \top, 4z + 1])（(z \in Z)，(t \in V_A) 且 (\text{deg}(t) = 2)）。若 Eve 移动 ((t, 4y + 1, p))，则 Adam 从 ((\top, 0, \top)) 开始有获胜策略；对称地，若配置为 ([\dot{t}, \top, 4z - 1]) 且 Eve 移动 ((t, 4x - 1, q))，则 Adam 有获胜策略。
  - 引理 9 ：若在构造的一维带状态的机器人游戏中，Eve 按规则移动且从不移动到 ⊥，Adam 按规则移动，则 Eve 有获胜策略当且仅当她在一维计数器可达性游戏中有获胜策略。
- 主定理证明 ：
  - 由引理 3 可知，确定获胜者属于 EXPSPACE。
  - 证明其为 EXPSPACE 难问题：设 ((V, F)) 是一个 (1CRG) 且初始计数器为 (z_0)，构造带状态的机器人游戏 ((A, E))。若 Eve 在 ((V, F)) 中有获胜策略，则她在 ((A, E)) 中也有获胜策略；若 Adam 在 ((V, F)) 中有获胜策略，则 Eve 在 ((A, E)) 中没有获胜策略。

2.3 游戏流程 mermaid 图

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(初始化游戏配置):::process
    B --> C{Eve 回合?}:::process
    C -- 是 --> D(Eve 选择移动):::process
    D --> E{是否到达目标配置?}:::process
    E -- 是 --> F([Eve 获胜]):::startend
    E -- 否 --> G(更新游戏配置):::process
    G --> H(Adam 回合):::process
    C -- 否 --> H
    H --> I(Adam 选择移动):::process
    I --> J{是否阻止 Eve 到达目标?}:::process
    J -- 是 --> K([Adam 获胜]):::startend
    J -- 否 --> G

3. 带状态的扁平机器人游戏

3.1 复杂度差异分析

当无状态的机器人游戏扩展为允许 Eve 有内部状态结构且 Adam 无状态时，确定获胜者的复杂度从 EXPTIME 增加到 EXPSPACE。这里研究相反的问题：保持 Eve 无状态，允许 Adam 有内部结构是否会导致类似的复杂度增加。

3.2 特殊情况分析

考虑 Adam 有三种类型移动的简单情况：状态 (t_0) 的自环、状态 (t_1) 的自环以及从 (t_0) 到 (t_1) 的转移。
- 思路：当移动限制为自环时，有两个无状态的机器人游戏，还有连接这两个游戏的额外移动。可以使用算法计算两个游戏的获胜集，然后利用 (t_0) 和 (t_1) 之间的转移连接这两个游戏。
- 示例：考虑一维带状态的扁平机器人游戏，Eve 的移动为 ({(s, -3, s), (s, -6, s), (s, -7, s), (s, -8, s)})，Adam 的移动为 ({(t_0, -3, t_0), (t_0, -6, t_0), (t_0, 0, t_1), (t_1, -7, t_1), (t_1, -8, t_1)})。计算得到限制在 (t_0) 和 (t_1) 的获胜集分别为 (W_0 = 9N) 和 (W_1 = {0, 14, 15, 25, 28, 29, 30, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, } \cup {x | x \geq 50})。可以发现，例如 9 在该扁平机器人游戏中不是获胜值，因为 Adam 移动到 (t_1) 后，Eve 回合后的计数器值 1、2、3 或 6 都不是 (W_1) 中的获胜值。而其他获胜值 (9k)（(k > 1)）必须先到达 9 才能到达 0，所以 Eve 没有获胜值。

3.3 计算获胜集的步骤

步骤 1 ：使用机器人游戏算法在 EXPTIME 内计算限制游戏的获胜集 (W_0) 和 (W_1)。
步骤 2 ：计算 (W_0) 中的禁止值 (F)，即所有从 (W_0) 中的值出发，存在 Adam 的移动 ((t_0, z, t_1)) 使得对于 Eve 的任何移动 ((s, x, s))，结果值都不在 (W_1) 中的值。
步骤 3 ：检查 (F) 中的值在 (W_1) 中是否可避免，即是否存在从初始值 (z_0) 到 0 的获胜策略且不经过 (F) 中的任何值。

3.4 引理证明

引理 6 ：设 ((A_0, E)) 和 ((A_1, E)) 是两个机器人游戏，(T) 是连接两个游戏的 Adam 的移动集合，(W_0) 和 (W_1) 是它们各自的获胜集。集合 (F = {x \in W_0 | \exists z \in T \forall (s, y, s) \in E : x + z + y \notin W_1}) 可以在多项式时间内计算。
- 证明：分多种情况考虑，包括获胜集为 ({0}) 的平凡情况，以及 (W_0 \subseteq Z^+) 且 (W_1 \subseteq Z^-) 等情况。对于非平凡情况，根据获胜集的不同形式（如 (W_0 = dZ) 和 (W_1 = d’Z) 等），通过划分整数线为长度为 (\text{lcm}(d, d’)) 的区间，计算区间内的禁止值 (F’)，所有禁止值为 (F = {f + \ell i | f \in F’, i \in Z})。
引理 7 ：设 ((A_0, E)) 是一个机器人游戏且 (W_0 \subseteq Z^+) 是其获胜集，(F_{fin} \subseteq (0, a] \subseteq W_0) 是 (W_0) 中的禁止值子集，(F_{inf} \subseteq (a, b] \subseteq W_0) 使得所有禁止值为 (F_{fin} \cup \left(\bigcup_{i = 0}^{\infty} F_{inf} + i(b - a)\right))。存在有限集 (X) 使得 (F_{fin} \cup F_{inf} \subseteq X \subseteq W_0)，并且可以在多项式时间内计算避免 (F) 中值的 (X) 中的值。对称情况（获胜集仅包含负值）同样成立。
- 证明：设 (m = \min(A_0)) 和 (M = \max(A_0)) 分别是 Adam 的最小和最大移动。令 (X = (m, b + (b - a) + M])，显然 (F_{fin} \cup F_{inf} \subseteq X)。在有限区域 (X) 上构造可达性游戏，通过将 (X) 划分为三个部分，分别对应 (F_{fin})、(F_{inf}) 和 (\bigcup_{i = 1}^{\infty} F_{inf} + i(b - a))。定义 Adam 和 Eve 的状态及游戏转移，Eve 获胜条件是到达 ((□, 0))，可以使用吸引子构造在多项式时间内计算该游戏的获胜值。

3.5 扩展到扁平图

可以将 Adam 的状态结构扩展到扁平图，算法与上述特殊情况类似。利用拓扑排序从图的末尾开始，使用引理 6 从获胜集中移除禁止点，然后使用引理 7 构造可避免值的集合。

3.6 计算步骤表格

步骤	操作	时间复杂度
1	计算限制游戏的获胜集 (W_0) 和 (W_1)	EXPTIME
2	计算禁止值 (F)	多项式时间
3	检查 (F) 中的值是否可避免	多项式时间

综上所述，确定带状态的扁平机器人游戏的获胜者属于 EXPTIME，同时由于无状态的机器人游戏也是带状态的扁平机器人游戏，所以具有 EXPTIME 难的下界。

4. 游戏复杂度总结与分析

4.1 不同类型游戏复杂度对比

游戏类型	复杂度
一维计数器可达性游戏（1CRG）	EXPSPACE 完全
一维机器人游戏（1RG）	EXPTIME 完全
一维带状态的机器人游戏（1RGS）	EXPSPACE 完全
带状态的扁平机器人游戏（FRGS）	EXPTIME

从这个表格可以清晰地看到不同类型游戏在复杂度上的差异。无状态的一维机器人游戏复杂度为 EXPTIME 完全，当引入状态后，一维带状态的机器人游戏复杂度提升到了 EXPSPACE 完全。而带状态的扁平机器人游戏，由于 Eve 无状态且 Adam 的状态是扁平的，复杂度又回到了 EXPTIME。

4.2 复杂度变化原因分析

状态引入的影响 ：在一维机器人游戏基础上，允许玩家有状态结构会增加游戏的复杂度。以一维带状态的机器人游戏为例，玩家的状态信息增加了游戏的状态空间，使得决策过程更加复杂，需要更多的空间来存储和处理状态信息，从而导致复杂度从 EXPTIME 提升到 EXPSPACE。
扁平状态结构的作用 ：带状态的扁平机器人游戏中，Eve 无状态且 Adam 的状态是扁平的，这种结构限制了状态空间的增长。扁平状态结构使得游戏可以通过拓扑排序等方法进行简化处理，避免了状态空间的无限制扩展，从而将复杂度控制在 EXPTIME 范围内。

5. 实际应用与启示

5.1 实际应用场景

人工智能领域 ：在机器人控制和决策问题中，这些游戏模型可以用于模拟机器人在不同环境下的决策过程。例如，在多机器人协作场景中，机器人需要根据自身状态和环境信息做出决策，以达到特定的目标。通过这些游戏模型，可以分析机器人的最优决策策略，提高机器人的智能水平和协作效率。
网络安全领域 ：在网络攻防场景中，攻击者和防御者可以看作游戏的两个玩家。攻击者试图突破防御系统，而防御者则要阻止攻击。游戏模型可以帮助分析攻击者和防御者的策略，评估网络系统的安全性，并制定相应的防御策略。

5.2 对算法设计的启示

状态空间管理 ：从游戏复杂度的变化可以看出，状态空间的管理对于算法的复杂度至关重要。在设计算法时，需要尽量减少状态空间的规模，避免状态空间的无限制增长。例如，在带状态的扁平机器人游戏中，通过扁平状态结构和拓扑排序的方法，有效地控制了状态空间的规模，降低了算法的复杂度。
策略优化 ：在游戏中，玩家的策略选择直接影响游戏的结果。在实际算法设计中，也需要考虑如何优化策略，以提高算法的性能。例如，在一维带状态的机器人游戏中，通过分析玩家的错误移动情况，设计相应的应对策略，确保在不同情况下都能做出最优决策。

6. 未来研究方向

6.1 更复杂状态结构的研究

目前研究的带状态的机器人游戏中，状态结构相对较为简单，如扁平状态结构。未来可以研究更复杂的状态结构，如带有嵌套循环或更复杂的图结构的状态，分析其对游戏复杂度的影响，并设计相应的算法来解决这些问题。

6.2 多维度游戏的研究

本文主要研究了一维的机器人游戏，未来可以扩展到多维度的游戏。多维度游戏的状态空间更加复杂，决策过程也更加困难。研究多维度游戏的复杂度和算法，对于解决实际中的高维决策问题具有重要意义。

6.3 动态环境下的游戏研究

目前的游戏模型假设环境是静态的，未来可以研究动态环境下的机器人游戏。在动态环境中，游戏的规则和状态可能会随时间变化，玩家需要实时调整策略。研究动态环境下的游戏，对于解决实际中的实时决策问题具有重要价值。

6.4 未来研究流程 mermaid 图

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([开始研究]):::startend --> B(选择研究方向):::process
    B --> C{研究方向类型?}:::process
    C -- 更复杂状态结构 --> D(构建复杂状态模型):::process
    C -- 多维度游戏 --> E(扩展到多维度):::process
    C -- 动态环境游戏 --> F(引入动态环境因素):::process
    D --> G(分析复杂度和设计算法):::process
    E --> G
    F --> G
    G --> H(验证算法有效性):::process
    H --> I([得出研究结论]):::startend

7. 总结

本文详细研究了一维带状态的机器人游戏和带状态的扁平机器人游戏的复杂度。通过对不同类型游戏的定义、复杂度证明和分析，揭示了状态结构对游戏复杂度的影响。在一维带状态的机器人游戏中，状态的引入使得复杂度从 EXPTIME 提升到 EXPSPACE；而在带状态的扁平机器人游戏中，扁平状态结构将复杂度控制在 EXPTIME 范围内。这些研究结果对于理解游戏理论和实际应用中的决策问题具有重要意义，同时也为未来的研究提供了方向。在实际应用中，这些游戏模型可以应用于人工智能、网络安全等领域，为解决实际问题提供理论支持和算法指导。未来的研究可以进一步探索更复杂的状态结构、多维度游戏和动态环境下的游戏，以应对更复杂的实际问题。