20、整数操作程序的递归并行性分析

最新推荐文章于 2025-10-22 11:13:39 发布

neovim7hacker

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分类专栏：可达性问题研究前沿文章标签： rbGTRS 弱同步系统全局可达性

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整数操作程序的递归并行性分析

1. 引言

在并行计算和程序分析领域，状态可达性问题是一个关键的研究方向。不同的系统模型在处理状态可达性问题时表现出不同的特性，有些情况下问题是不可判定的，而在特定的限制条件下则是可判定的。本文将围绕几种相关的系统模型展开，包括分支向量加法系统、下推向量加法系统、带状态和反转有界计数器的地面树重写系统等，深入探讨状态可达性问题的可判定性及复杂度。

2. 预备知识

符号定义 ：用 (N) 表示自然数集，(Z) 表示整数集。
树的相关概念
- 带秩字母表 ：是一个有限字符集 (\Sigma) 以及一个秩函数 (\rho : \Sigma \to N)。
- 树域：(D \subset N^ ) 是 (N^ ) 的一个非空有限子集，满足前缀封闭和幼弟封闭。
- 树：在带秩字母表 (\Sigma) 上的树是一个对 (t = (D, \lambda))，其中 (D) 是树域，(\lambda : D \to \Sigma)，且对于所有 (\eta \in D)，若 (\lambda(\eta) = a) 且 (\rho(a) = n)，则 (\eta) 恰好有 (n) 个孩子。用 (T_{\Sigma}) 表示 (\Sigma) 上的树的集合。
上下文树 ：在字母表 (\Sigma) 上带有上下文变量 (x_1, \ldots, x_n) 的上下文树是一个树 (C = (D, \lambda))，其中 (D) 是树域，(\lambda : D \to \Sigma \cup {x_1, \ldots, x_n})，对于每个 (1 \leq i \leq n)，(\rho(x_i) = 0) 且存在唯一的上下文节点 (\eta_i) 使得 (\lambda(\eta_i) = x_i)。给定树 (t_i = (D_i, \lambda_i))，(C[t_1, \ldots, t_n]) 是通过将每个变量 (x_i) 用 (t_i) 填充得到的树。
树自动机 ：自底向上的非确定性树自动机（NTA）是一个元组 (T = (Q, \Delta, F))，其中 (Q) 是有限状态集，(F \subseteq Q) 是最终（接受）状态集，(\Delta) 是形如 ((q_1, \ldots, q_n) \xrightarrow{a} q) 的规则的有限集。树自动机 (T) 在字母表 (\Sigma) 上定义的语言 (L(T) \subseteq T_{\Sigma}) 是存在 (T) 的接受运行的树的集合。
帕里克映像 ：给定字母表 (\Sigma = { \gamma_1, \ldots, \gamma_n }) 和单词 (w \in \Sigma^ )，(P(w)) 是一个映射 (\rho : \Sigma \to N)，(\rho(a)) 是 (a) 在 (w) 中出现的次数。对于语言 (L \subseteq \Sigma^ )，(P(L) = { P(w) | w \in L }) 称为 (L) 的帕里克映像。
普雷斯伯格算术 ：普雷斯伯格公式是关于整数加法的一阶公式。这里使用存在性普雷斯伯格公式 (\phi(x, y) := \exists x \phi)，其中 (x) 和 (y) 是变量集，(\phi) 是表达式 (\sum_{i = 1}^{m} a_i z_i \sim b) 的布尔组合，变量 (z_1, \ldots, z_m \in x \cup y)，常数 (a_1, \ldots, a_m, b \in Z)，(\sim \in { \leq, \geq, <, >, = })，常数用二进制表示。公式 (\phi) 可满足当且仅当存在解。存在性普雷斯伯格公式的可满足性是 NP 完全的。

3. 形式模型

地面树重写系统（GTRS） ：允许子树重写，规则是一对地面树。这里使用 Löding 提出的扩展，其中重写规则中出现 NTA 而不是地面树，一个规则可能对应无限个具体规则。
带状态和反转有界计数器的地面树重写系统（rbGTRS）
- 构造目的 ：为了捕捉不同子线程之间的同步以及处理整数变量，对 GTRS 进行扩展。
- 计数器约束 ：原子计数器约束是形如 (c_i \sim v) 的表达式，其中 (v \in Z)，(\sim \in { <, \leq, =, \geq, > })。计数器约束 (\theta) 是原子计数器约束的布尔组合。给定计数器变量的赋值 (\nu : C \to Z)，可以确定 (\theta[\nu]) 的真假。
- 反转有界性 ：计数器值序列中，当计数器从递增变为递减或反之，就发生一次反转。一个赋值序列是反转有界的，当且仅当序列中的反转次数是有界的。
- rbGTRS 的定义 ：定义为元组 (G = (P, \Sigma, \Gamma, R, C, r))，其中 (P) 是有限控制状态集，(\Sigma) 是有限带秩字母表，(\Gamma) 是输出符号的有限字母表，(C) 是有限计数器集，(R) 是形如 ((p_1, T_1, \theta) \xrightarrow{\gamma} (p_2, T_2, \mu)) 的规则的有限集，(p_1, p_2 \in P)，(\gamma \in \Gamma)，(\theta \in Cons_C)，(\mu \in C \to Z)，(T_1, T_2) 是 (\Sigma) 上的 NTA。
- 配置和转换 ：rbGTRS 的配置是一个元组 (\alpha = (p, t, \nu))，其中 (p) 是控制状态，(t) 是树，(\nu) 是计数器的赋值。当存在规则 ((p_1, T_1, \theta) \xrightarrow{\gamma} (p_2, T_2, \mu) \in R) 使得 (\theta[\nu_1]) 为真且 (\nu_2 = \nu_1 + \mu)，并且 (t_1 = C[t_1’]) 对于某个上下文 (C) 和树 (t_1’ \in L(T_1))，(t_2 = C[t_2’]) 对于某个树 (t_2’ \in L(T_2)) 时，有转换 ((p_1, t_1, \nu_1) \xrightarrow{\gamma} (p_2, t_2, \nu_2))。
- 运行和输出字符串 ：运行 (\pi) 是一个序列 ((p_1, t_1, \nu_1) \xrightarrow{\gamma_1} \cdots \xrightarrow{\gamma_{n - 1}} (p_n, t_n, \nu_n))，其中对于所有 (1 \leq i < n)，((p_i, t_i, \nu_i) \xrightarrow{\gamma_i} (p_{i + 1}, t_{i + 1}, \nu_{i + 1})) 是 (G) 的转换，并且对于每个 (c \in C)，序列 (\nu_1, \ldots, \nu_n) 是 (r) - 反转有界的。(\gamma_1 \cdots \gamma_{n - 1}) 是 (\pi) 的输出字符串。
- 可达性问题
  - 全局可达性 ：给定一个 rbGTRS (G) 和两个符号配置集 ((p_1, T_1, \phi_1))，((p_2, T_2, \phi_2))，问题是判断是否存在 ((p_1, t_1, \nu_1) \in [[(p_1, T_1, \phi_1)]]) 和 ((p_2, t_2, \nu_2) \in [[(p_2, T_2, \phi_2)]]) 使得 ((p_1, t_1, \nu_1) \to^* (p_2, t_2, \nu_2))。
  - 控制状态可达性 ：通过限制树自动机 (T_1) 和 (T_2) 分别接受单例树和所有树的集合，以及公式 (\phi_1) 和 (\phi_2) 的解分别为 ({ \nu_0 })（(\nu_0) 是将所有计数器赋值为 0 的赋值）和所有计数器赋值的集合来定义。
弱同步地面树重写系统
- 问题特性 ：sGTRS 的控制状态和全局可达性问题是不可判定的，但对于弱同步 sGTRS，这些问题是 NP 完全的。
- 定义：弱同步 rbGTRS 的底层控制图 ((P, \Delta)) 是一个可能带有自环的有向无环图（DAG），其中 (\Delta = { (p_1, p_2) | (p_1, T_1, \theta) \xrightarrow{\gamma} (p_1, T_2, \mu) \in R })。

4. 可判定性证明

主要定理 ：弱同步 rbGTRS 的全局可达性是 NP 完全的，并且可以在多项式时间内归约到存在性普雷斯伯格公式的可满足性问题。
证明思路
- 构建新系统 (G’) ：从 rbGTRS (G) 构建一个新的 sGTRS (G’)（无计数器），将计数器的动态编码到 (G’) 的输出符号中。
- 计算公式 (\psi) ：使用 [31] 的结果计算一个存在性普雷斯伯格公式 (\psi)，捕获 (G’) 从 ((p_1, T_1, \phi_1)) 到 ((p_2, T_2, \phi_2)) 的所有输出字符串的帕里克映像。
- 构建公式 (\psi’) ：公式 (\psi’) 用于确保 (G’) 的运行忠实模拟 (G) 的运行，最终公式是 (\psi \land \psi’)。
计数器的模式
- 模式定义 ：计数器的模式是一个元组，包含计数器值的区域、计数器执行的反转次数以及计数器当前是非递减（(\uparrow)）还是非递增（(\downarrow)）。模式向量是 (k) 个计数器的模式的 (k) 元组。
- 区域划分 ：设 (d_1 < \cdots < d_m) 是 (G) 中计数器约束中出现的整数常数，这些常数将整数集划分为区域 (REG = { A_0, \ldots, A_m, B_1, \ldots, B_m })。
构建 sGTRS (G’)
- 控制状态 ：(P’ := P \times [0, N_{max}])，其中 (N_{max} := 2mk(r + 1))。
- 输出字母表 ：(\Gamma’ = \Gamma \times R \times [0, N_{max}] \times { 0, 1 })，布尔标志用于表示转换是否改变模式。
- 规则定义 ：对于 (R) 中的每个规则 (\tau = (p, T, \theta) \xrightarrow{\gamma} (p’, T’, \mu))，添加规则 (((p, i), T) \xrightarrow{(\gamma, \tau, i, 0)} ((p’, i), T’)) 对于每个 (i \in [0, N_{max}])，以及 (((p, i), T) \xrightarrow{(\gamma, \tau, i, 1)} ((p’, i + 1), T’)) 对于每个 (i \in [0, N_{max}))。
构建公式 (\psi \land \psi’)
- 公式 (\psi) ：是一个存在性普雷斯伯格公式，编码 (G’) 从 (((p_1, 0), T_1)) 到 ((S, T_2)) 的所有输出字符串的集合 (L) 的帕里克映像 (P(L))。
- 公式 (\psi’) ：是一个合取式，由多个子公式组成，包括 (\phi_1(x) \land \phi_2(y) \land Dom(m_0, \ldots, m_{N_{max}}) \land Init(m_0) \land GoodSeq(m_0, \ldots, m_{N_{max}}) \land Respect(z, m_0, \ldots, m_{N_{max}}) \land EndVal(x, y, z))。
  - (Dom) 子公式 ：确保每个变量 (m_i) 具有正确的定义域。
  - (Init) 子公式 ：断言 (m_0) 是初始模式向量。
  - (GoodSeq) 子公式 ：确保 (m_0, \ldots, m_{N_{max}}) 形成有效的模式向量序列。
  - (Respect) 子公式 ：确保 (G’) 的运行的帕里克映像 (z) 尊重模式向量序列 (m_0, \ldots, m_{N_{max}})，包括计数器值在正确的区域、执行的转换有效以及计数器增量符合模式要求。

以下是构建 (G’) 的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定Nmax];
    B --> C[定义P'];
    C --> D[定义Γ'];
    D --> E[定义R'];
    E --> F[结束];

通过以上的步骤和分析，我们可以看到，在特定的限制条件下，弱同步 rbGTRS 的全局可达性问题是可判定的，并且可以通过归约到存在性普雷斯伯格公式的可满足性问题来解决。这种方法为并行程序的分析提供了一种有效的手段，有助于发现程序中的潜在错误和验证程序的正确性。

整数操作程序的递归并行性分析

5. 子公式详细解析

(Dom) 子公式
- 对于每个 (j \in [1, k])，添加以下约束：
  - (0 \leq regi_j \leq 2m)：使用偶数 (2i) 表示区域 (A_i)，奇数 (2i - 1) 表示区域 (B_i)。
  - (0 \leq revi_j \leq r)：表示第 (j) 个计数器的反转次数在 (0) 到 (r) 之间。
  - (0 \leq arri_j \leq 1)：用 (1) 表示非递减（(\uparrow)），(0) 表示非递增（(\downarrow)）。
- 这些约束确保了模式向量中的每个变量具有合理的取值范围。
(Init) 子公式
- 对于每个 (j \in [1, k])，添加约束 (rev0_j = 0)。
- 这意味着初始模式向量中每个计数器的反转次数为 (0)，符合初始状态的设定。
(GoodSeq) 子公式
- 对于每个 (i \in [0, N_{max})) 和 (j \in [1, k])，添加以下约束：
  - (arri_j \neq arri_{j + 1} \Rightarrow revi_{j + 1} = revi_j + 1)：当计数器的增减方向改变时，反转次数加 (1)。
  - (arri_j = arri_{j + 1} \Rightarrow revi_{j + 1} = revi_j)：当计数器的增减方向不变时，反转次数不变。
  - (regi_j < regi_{j + 1} \Rightarrow arri_{j + 1} = 1)：当计数器所在区域增大时，计数器为非递减状态。
  - (regi_j > regi_{j + 1} \Rightarrow arri_{j + 1} = 0)：当计数器所在区域减小时，计数器为非递增状态。
- 这些约束保证了模式向量序列的有效性，反映了计数器在运行过程中的合理变化。
(Respect) 子公式
- 计数器值区域约束 ：
  - 对于每个 (i \in [0, N_{max}]) 和 (j \in [1, k])，定义 (StartCounteri_j = xj + \sum_{s = 0}^{i - 1} \sum_{(\gamma, \tau, s, l)} \mu_j(\tau) \times z(\gamma, \tau, s, l))，(EndCounteri_j = StartCounteri_j + \sum_{(\gamma, \tau, i, 0)} \mu_j(\tau) \times z(\gamma, \tau, i, 0))。
  - (regi_j = 2h \Rightarrow EndCounteri_j \in A_h)：当模式向量中区域编码为偶数时，计数器结束值应在相应的 (A_h) 区域。
  - (regi_j = 2h + 1 \Rightarrow EndCounteri_j \in B_h)：当模式向量中区域编码为奇数时，计数器结束值应在相应的 (B_h) 区域。
  - 对于初始条件，添加 (StartCounter0_j \in A_h \Rightarrow reg0_j = 2h) 和 (StartCounter0_j \in B_h \Rightarrow reg0_j = 2h + 1)，确保初始计数器值与模式向量中的区域编码一致。
- 转换有效性约束 ：对于每个 (\gamma \in \Gamma)，(\tau \in R)，(i \in [0, N_{max}])，(l \in {0, 1})，如果 (\theta) 是 (\tau) 中的计数器约束，添加 (z(\gamma, \tau, i, l) > 0 \Rightarrow \theta(StartCounteri_1, \ldots, StartCounteri_k))，保证执行的转换满足计数器约束。
- 计数器增量约束 ：对于每个 (i \in [0, N_{max}])，(j \in [1, k])，(l \in {0, 1})，(\tau \in R)，如果 (\mu_j(\tau) > 0)，则添加 (arri_j = 0 \Rightarrow z(\gamma, \tau, i, l) = 0)；如果 (\mu_j(\tau) < 0)，则添加 (arri_j = 1 \Rightarrow z(\gamma, \tau, i, l) = 0)，确保计数器的增量符合其当前的增减状态。

6. 复杂度分析

构建 (G’) 的复杂度
- 控制状态 (P’) 的大小为 (|P| \times (2mk(r + 1) + 1))，输出字母表 (\Gamma’) 的大小为 (|\Gamma| \times |R| \times (2mk(r + 1) + 1) \times 2)，规则集 (R’) 的大小为 (2 \times |R| \times (2mk(r + 1) + 1))。由于 (r) 用一元表示，构建 (G’) 可以在多项式时间内完成。
计算 (\psi) 的复杂度
- 因为 (G’) 是弱同步 sGTRS，根据 [31] 的结果，计算存在性普雷斯伯格公式 (\psi) 可以在多项式时间内完成。
构建 (\psi’) 的复杂度
- 构建 (\psi’) 主要涉及到模式向量和计数器值的约束，由于模式向量的数量和计数器的数量是固定的，构建 (\psi’) 也可以在多项式时间内完成。

操作	复杂度
构建 (G’)	多项式时间
计算 (\psi)	多项式时间
构建 (\psi’)	多项式时间

7. 应用场景与意义

并行程序分析 ：通过判断弱同步 rbGTRS 的全局可达性，可以验证并行程序的正确性，发现程序中的潜在错误，如死锁、数据竞争等。
资源管理 ：在并行程序中，计数器可以表示资源的使用情况，通过分析状态可达性，可以合理分配和管理资源，避免资源耗尽或浪费。
程序优化 ：根据可达性分析的结果，可以对程序进行优化，如减少不必要的同步操作，提高程序的性能。

8. 总结

本文围绕整数操作程序的递归并行性展开研究，介绍了多种相关的系统模型，重点分析了带状态和反转有界计数器的地面树重写系统（rbGTRS）。通过构建新的 sGTRS (G’) 并结合存在性普雷斯伯格公式，证明了弱同步 rbGTRS 的全局可达性是 NP 完全的，并且可以在多项式时间内归约到存在性普雷斯伯格公式的可满足性问题。这种方法为并行程序的分析和验证提供了有效的手段，具有重要的理论和实际应用价值。

以下是整个证明过程的流程图：

graph TD;
    A[输入 rbGTRS \(G\) 和符号配置集] --> B[构建 \(G'\)];
    B --> C[计算 \(\psi\)];
    C --> D[构建 \(\psi'\)];
    D --> E[判断 \(\psi \land \psi'\) 的可满足性];
    E --> F[得出全局可达性结论];

通过以上的研究和分析，我们可以更好地理解和处理整数操作程序的递归并行性问题，为并行计算领域的发展提供有力的支持。