12、循环神经网络与电气网络的形式化关联

循环神经网络与电气网络的形式化关联

引言

在当今科技领域，循环神经网络（RNN）在自然语言处理、动力系统分析、神经科学和时间序列分析等多个领域都取得了巨大进展。将RNN与电气网络建立形式化的联系，不仅有助于我们更深入地理解RNN的工作原理，还能为相关领域的研究提供新的视角和方法。本文将详细探讨RNN与电气网络之间的等价关系，以及如何通过线性化和网络综合等方法来实现这种等价。

循环神经网络的数学描述

在循环神经网络中，用向量 $\mathbf{h}$ 表示由 $n$ 个神经元组成的网络在时刻 $t$ 的活动状态。同时，存在 $m$ 个输入函数 $x_k : T \to X \subseteq \mathbb{R}$（$k \in I_m$），可将它们排列成列向量 $\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_m)^t$。网络的活动向量 $\mathbf{h}$ 满足以下方程：
$$\dot{\mathbf{h}}(t) = -\mathbf{\lambda}\mathbf{h}(t) + \mathbf{\sigma}(\mathbf{w}\mathbf{h}(t) + \tilde{\mathbf{w}}\mathbf{x}(t))$$
其中，$\dot{\mathbf{h}}$ 表示通常意义下关于时间的全导数。对角矩阵 $\mathbf{\lambda}$ 包含每个神经元突触后模式的特征时间（$\tau_k$，$k \in I_n$）的倒数，即 $\mathbf{\lambda}^{-1} = \text{diag}(\tau_1, \cdots, \tau_k, \cdots, \tau_n)$。

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