15、热方程与四元数凯勒流形的映射研究

热方程与四元数凯勒流形的映射研究

1. 热方程解的特殊假设

在热方程的研究中，对于某些 (n \in \mathbb{N})，定义函数 (\varPhi(z; \mathbf{x})) 如下：
(\varPhi(z; \mathbf{x}) = z^{\delta} + \sum_{k \geq 2} \frac{\varPhi_k(\mathbf{x})}{z^{2k + \delta}(2k + \delta)!})
其中，(\varPhi_k(\mathbf{x})) 是关于 (\mathbf{x} = (x_2, \ldots, x_{n + 1})) 的 ( - 4k) 次齐次多项式，(\text{deg} x_k = - 4k)，且 (\delta = 0) 或 (1)。当 (\text{deg} z = 2) 时，(\varPhi(z; \mathbf{x})) 是 (2\delta) 次齐次函数。设 (P_n(\mathbf{x})) 是 ( - 4(n + 2)) 次齐次多项式，由于分级的原因，该多项式不依赖于其最后一个参数。

我们主要关注热方程解的如下假设形式：
(\psi(z, t) = e^{-\frac{1}{2}h(t)z^2 + r(t)}\varPhi(z; \mathbf{x}(t)))
这里，(h(t)) 和 (r(t)) 是某些函数，(\mathbf{x}(t)) 是向量函数。

定理 1

以下三个条件中任意两个条件可推出第三个条件：
1. 函数 (\psi(z, t)) 满足热方程 (\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}