39、计算复杂性理论基础：P 与 NP、归约与 NP 完全性

计算复杂性理论基础：P 与 NP、归约与 NP 完全性

在计算复杂性理论的领域中，P 与 NP 问题、归约以及 NP 完全性是至关重要的概念。下面将深入探讨这些概念及其相互关系。

1. P 与 NP 问题的等价表述

P ≠ NP 这一论断表明证明是有用的。存在一些 NP 集合，无法通过多项式时间算法来判定其成员关系。对于这些集合，获取成员关系的证明（对于某些实例）是有价值的，因为我们无法高效地自行确定成员关系。

P 与 NP 问题有两种表述方式，并且它们是等价的。即每个 NP 关系的搜索问题都能在多项式时间内解决，当且仅当任何 NP 集合的成员关系都能在多项式时间内判定。

下面来证明 PC ⊆ PF 当且仅当 NP = P：
- 假设搜索版本的包含关系成立（即 PC ⊆ PF） ：设 L 是任意一个 NP 集合，RL 是对应的见证关系。那么 RL 是一个 NP 关系，根据假设，其搜索问题可以在多项式时间内解决（即 RL ∈ PC ⊆ PF）。这就产生了一个多项式时间的决策过程来判定 L。具体操作是，给定 x，尝试找到 y 使得 (x, y) ∈ RL（如果找到了这样的 y 则输出“yes”）。因此，NP = P 成立。
- 假设 NP = P（作为集合类） ：设 R 是任意一个 NP 关系。定义集合 SR = {(x, y′) : ∃y′′ 使得 (x, y′y′′) ∈ R}（其中 y′y′′ 表示 y′ 和 y′′ 的连接），它属于 NP，因此也属于 P。通过逐位扩展潜在解的前缀（同时使用决策过程来确定当前前缀是否有效），可以得到一个多项式时间算法来解决 R 的