28、承诺问题综述：理论与应用

承诺问题综述：理论与应用

在计算科学领域，简单的事实和基本方法往往具有最广泛的影响力，并能在不同学科间传播，甚至影响其他学科。承诺问题作为一个核心概念，在多个计算问题的研究中发挥着关键作用。本文将深入探讨承诺问题在寻找唯一解、近似计数、差距问题以及提供完全问题等方面的应用。

1. 组织说明

除了主要章节外，还包含三个附录，为正文中提及的部分结果提供更多细节。其中，附录B和C与主要内容最为相关，它们深入探讨了承诺问题在研究结果中的作用；而附录A则展示了对承诺问题的归约可能会巧妙利用违反承诺的查询。

2. 唯一解与近似计数

2.1 寻找唯一解的复杂度

通常认为SAT问题的难解性并非源于具有“显著比例”满足赋值的实例。例如，对于一个具有至少2n/n个满足赋值的n变量公式，通过随机尝试O(n)个赋值，很容易找到一个满足赋值。然而，对于具有极少满足赋值（如唯一满足赋值）的SAT实例，情况则不同。Valiant和Vazirani证明，找到此类实例的满足赋值的能力等同于找到任意实例的满足赋值的能力，即区分唯一可满足公式和不可满足公式并不比区分可满足公式和不可满足公式更容易。

为了表述这一问题，引入了承诺问题的概念。例如，unique - SAT（uSAT）是一个承诺问题，其“是”实例为具有唯一满足赋值的公式，“否”实例为没有满足赋值的公式。定理表明，SAT可随机归约到uSAT，即存在从SAT到uSAT的随机Cook归约。该结果适用于所有已知的NP完全问题，在某些情况下可直接证明，在其他情况下则可通过合适的保解归约来证明。

2.2 近似计数的复杂度

与NP关系R相关的一个自然计算问题是