最短线性递推式 BM算法 Berlekamp-Massey

已知数列{a0,a1,⋯ ,an−1}\{a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\}{a0​,a1​,⋯,an−1​}，求其最短线性递推式。即求数列{r0,r1,⋯ ,rm−1}\{r_0,r_1,\cdots,r_{m-1}\}{r0​,r1​,⋯,rm−1​}满足$\forall i\in [m,n),a_i={\sum }_{j=1}^m{r}_{j-1}{a}_{i-j}$。

考虑不停地修改答案递推式。设$R_p$表示得到的第$p$个递推式，最开始的递推式为空，即R0={}R_0=\{\}R0​={}。记$d_i$为由当前递推式算出的$a_i$与$a_i$的差。如果$d_i=0$那么说明递推式到$i$都是对的，否则记$f_p$表示$R_p$的错误位置。考虑如何修改当前的$R$。设新的递推式为$R_{p+1}$，事实上，我们把$R_p$加上$R^{\prime }$即可，其中$R^{\prime }$是$i-f_{p-1}-1$个$0$拼上$M$拼上$R_{p-1}$的$-M$倍，其中$M=\frac{d_i}{d_{f_{p-1}}}$。每次最多修改$n$项，最多修改$n$次，复杂度为$O(n^2)$。

举例说明：

先填上开头。

a		1	2	4	7	14	24
d	N/A	-1
R	{}	{0}

计算$d_1=0\times a_0-a_1=-2$，不符合。计算$R^{\prime }$是$0$个$0$（现在的位置-上次不符合位置+1）拼上$M$拼上{}\{\}{}的$-M$倍，$M=\frac{-2}{-1}$，算得{2}\{2\}{2}。于是R={0}+R′={2}R=\{0\}+R'=\{2\}R={0}+R′={2}。

a		1	2	4	7	14	24
d	N/A	-1	-2
R	{}	{0}	{2}

计算$d_2=2\times 2-4=0$符合。

a		1	2	4	7	14	24
d	N/A	-1	-2	0
R	{}	{0}	{2}

计算$d_3=1$不符合，$R^{\prime }$是$1$个$0$拼上$M$拼上{0}\{0\}{0}的$-M$倍，$M=\frac{1}{-2}$。

a		1	2	4	7	14	24
d	N/A	-1	-2	0	1
R	{}	{0}	{2}		{2,-0.5,0}

注意这里的$R$只对$7$适用，因为它的长度有$3$。

之后的请自行计算，不再展示过程。

a		1	2	4	7	14	24
d	N/A	-1	-2	0	1	-2	0.5
R	{}	{0}	{2}		{2,-0.5,0}	{0,3.5,0}	{-0.25,4,-0.125,0}

4.26

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