递推与背包问题的矩阵乘法与背包算法解决方案-优快云博客

一切递推皆可矩阵乘法，一切DP皆可背包！

学过线性代数的人肯定都知道矩阵乘法，在acm中矩阵乘法往往是用来快速求递推式的第n项，而且经常是与快速幂联系在一起使用。

下面举几个例子，简单题就不贴代码了：

Hdu1575(Tr A):

题意：Tr A表示方阵A的迹（主对角线元素之和），求Tr(A^k) % 9973。

算法：直接用矩阵快速幂。

Poj3233(Matrix Power Series):

题意：求Sn = A + A² +A³ + … +Aⁿ。

算法：首先能矩阵二分快速幂计算出A^k，那么我们对S再进行二分：

Matrix Sum ( int x ) {

if ( x == 1 ) return A ;

if ( x & 1 ) return ( A ^ x ) + Sum ( x - 1 ) ;

else return Sum ( x / 2 ) * ( ( A ^ ( x / 2 ) ) + I ) ;

}

Hdu2604(Queuing):

题意：求长度为L的合法串，非法只包含fmf,fff

算法：画DFA，求出递推式，并构造矩阵：

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std ;

int L , M ;

struct Matrix {

int n , m ;

int mat [ 10 ] [ 10 ] ;

} A , B , I ;

void init ( ) {

I . n = I . m = 4 ;

for ( int i = 0 ; i < I . n ; i ++ )

I . mat [ i ] [ i ] = 1 ;

}

Matrix operator* ( Matrix a , Matrix b ) {

Matrix c ;

if ( a . m != b . n ) return c ;

for ( int i = 0 ; i < a . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < b . m ; j ++ ) {

c . mat [ i ] [ j ] = 0 ;

for ( int k = 0 ; k < a . m ; k ++ )

c . mat [ i ] [ j ] = ( c . mat [ i ] [ j ] + a . mat [ i ] [ k ] * b . mat [ k ] [ j ] ) % M ;

}

c . n = a . n ;

c . m = b . m ;

return c ;

}

Matrix operator ^ ( Matrix A , int x ) {

Matrix c ;

c = I ;

for ( ; x ; x >> = 1 ) {

if ( x & 1 ) c = c * A ;

A = A * A ;

}

return c ;

}

int main ( ) {

// freopen("in.txt", "r", stdin);

init ( ) ;

A . n = A . m = 4 ;

A . mat [ 0 ] [ 0 ] = A . mat [ 0 ] [ 2 ] = A . mat [ 0 ] [ 3 ] = 1 ;

A . mat [ 1 ] [ 0 ] = A . mat [ 2 ] [ 1 ] = A . mat [ 3 ] [ 2 ] = 1 ;

B . n = 4 ;

B . m = 1 ;

B . mat [ 0 ] [ 0 ] = 9 ;

B . mat [ 1 ] [ 0 ] = 6 ;

B . mat [ 2 ] [ 0 ] = 4 ;

B . mat [ 3 ] [ 0 ] = 2 ;

while ( scanf ( "%d%d" , & L , & M ) != EOF ) {

if ( L < 5 ) {

if ( L == 0 ) printf ( "0\n" ) ;

else printf ( "%d\n" , B . mat [ 4 - L ] [ 0 ] % M ) ;

continue ;

}

Matrix tmp = A ^ ( L - 4 ) ;

Matrix C = tmp * B ;

printf ( "%d\n" , C . mat [ 0 ] [ 0 ] % M ) ;

}

return 0 ;

}

Hdu2294(Pendant):
题意：题意求长为n的挂件一定包含1~k种颜色的方案数。
算法：dp[i][j]表示用j种颜色，组成长度为i的方案数，那么dp[i][j] = j*dp[i-1][j] + (k-j+1)*dp[i-1][j-1]。最后答案即为∑dp[i][k]。

因为n非常大，并且每个状态只跟前一个有关，所以可以用滚动数组降到一维，对于每一个长度i，构造(k+1)*(k+1)矩阵:

dp[0] dp[1] ...... dp[k]
0 0 ...... 0
... ... ...... ...
0 0 ...... 0

可知f[n]=A*f[n-1]=A^(n-1)*f[1]，所以最后要求的答案即为(E+A+A^2+......+A^(n-1))*f[1]。(f[i]是上面那个矩阵，dp[i]是这个矩阵中的一个数值)

由递推式构造出A矩阵为:

0 k 0 ...... 0 0
0 1 k-1 ...... 0 0
0 0 2 ...... 0 0
... ... ... ...... ...
0 0 0 ...... k-1 1
0 0 0 ...... 0 k

并且f[1]=E*A。当然，在计算过程中还需要取模。

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#include <cstdio>

#include <cstring>

const long long mod = 1234567891 ;

int N , K ;

struct Matrix {

int n , m ;

long long mat [ 33 ] [ 33 ] ;

} A , F , I ;

void initF ( ) {

F . n = F . m = K + 1 ;

for ( int i = 0 ; i < F . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < F . m ; j ++ )

F . mat [ i ] [ j ] = 0 ;

}

void initI ( ) {

I . n = I . m = K + 1 ;

for ( int i = 0 ; i < I . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < I . m ; j ++ )

I . mat [ i ] [ j ] = 0 ;

for ( int i = 0 ; i < I . n ; i ++ )

I . mat [ i ] [ i ] = 1 ;

}

void initA ( ) {

A . n = A . m = K + 1 ;

for ( int i = 0 ; i < A . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < A . m ; j ++ )

A . mat [ i ] [ j ] = 0 ;

for ( int i = 0 ; i < A . n ; i ++ ) {

A . mat [ i ] [ i ] = i ;

if ( i < A . n - 1 )

A . mat [ i ] [ i + 1 ] = K - i ;

}

Matrix operator* ( Matrix a , Matrix b ) {

Matrix c ;

c . n = a . n ; c . m = b . m ;

for ( int i = 0 ; i < c . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < c . m ; j ++ ) {

c . mat [ i ] [ j ] = 0 ;

for ( int k = 0 ; k < a . m ; k ++ )

c . mat [ i ] [ j ] = ( c . mat [ i ] [ j ] + a . mat [ i ] [ k ] * b . mat [ k ] [ j ] ) % mod ;

}

return c ;

}

Matrix operator + ( Matrix a , Matrix b ) {

Matrix c ;

c . n = a . n ; c . m = b . m ;

for ( int i = 0 ; i < c . n ; i ++ )

for ( int j = 0 ; j < c . m ; j ++ )

c . mat [ i ] [ j ] = ( a . mat [ i ] [ j ] + b . mat [ i ] [ j ] ) % mod ;

return c ;

}

Matrix operator ^ ( Matrix A , int x ) {

Matrix c ;

c . n = c . m = K + 1 ;

c = I ;

for ( ; x ; x >> = 1 ) {

矩阵乘法与线性递推式