半环(semiring)的数学概念

相关概念

交换群（An abelian group/commutative group）

交换群是一个集合（Set），它有一个运算符·，对于集合A，则可以表示为(A,·)

它有如下特性：

• 闭包性（Closure）
  如果a,b属于A，那么a·b属于A
• 结合性（Associativity）
  如果a,b,c属于A，那么(a·b)·c=a·(b·c)
• 含有幺元（Identity element）
  存在元素e，对于A中元素a，满足e·a=a·e=a
• 含有逆元（Inverse element）
  对于元素a，在A中存在b，满足a·b=b·a=e,则称b为a的逆元
• 交换性（Commutativity）
  对于任意元素a,b都属于A，满足a·b=b·a

环 （Ring）

环是有两种运算（+和·）的群
它有如下特性：

1. 对于+，它有交换群特性

• 结合性 (a+b)+c = a+(b+c)
• 交换性 a+b = b+a
• 含有幺元 存在0，满足a + 0 = a，0为幺元
• 含有逆元 存在-a, 满足a + (−a) = 0， -a为a的逆元

2. 对于·，它存在独异点(monoid),部分满足交换群特性

• 结合性 (a·b)·c = a·(b·c)
• 含有幺元 a · 1 = a，1为幺元

3. ·对于+有分配性（distributive）

• 左分配性 a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c)
• 右分配性 (b + c) · a = (b · a) + (c · a)

半环 （Semiring）

半环是去掉+操作中逆元特性的环，所以有昵称为rng，意思是去掉i(inverse element)的ring