测度论与概率论基础学习笔记2——1.2集合系

集合组成的集合就是集合系。本节的任务在于讨论能够在哪种集合上建立测度，也就是如何找到可测集。

定义1.$\pi$系
如果空间X上非空集合系$\mathcal{P}$对交运算封闭，则其为$\pi$系。

定义2.半环
满足下列条件的$\pi$系$\mathcal{L}$称为半环：
对任意的$A,B\in \mathcal{L}且A\supset B$，若存在有限个两两不交的{Ck∈L,k=1,2,…,n}\{ C_k \in \mathscr L , k = 1,2,\dots ,n\}{Ck​∈L,k=1,2,…,n}使得
$$A\backslash B={\cup }_{k=1}^n{C}_k$$

多留心本节与高等代数里的概念的类比。在代数中，半环是去掉+运算逆元特性的环。

这个定义的意义是，$A和B$的真差能用几个互不相交的集合填满。

定义3.环
若非空集合系$\mathcal{R}$对并和差的运算是封闭的，则称其为环。

在代数中，环就是定义了加法和乘法的群，其满足加法与乘法的某些特性。

定义4.域
满足下列条件的$\pi$系$\mathcal{A}$称为域：
$$X\in \mathcal{A};A\in \mathcal{A}\Rightarrow A^c\in \mathcal{A}$$

也就是域包含全集（这是与环不同的地方，环并没有要求这一点），域对交、补运算封闭。
在代数中，设F是一个有单位元$e_1(\ne 0)$的交换环（即对于乘法运算可交换）。如果F中每个非零元都可逆，称F是一个域。

以上几个概念的关系：
半环必是$\pi$系（由定义），环必是半环，域必是环。

以上的$\pi$系、环和域都是针对有限运算定义的.对于建立测度来说，只有有限运算是不够的。因此，还必须引进一些在可列运算下封闭的集合系。

定义5.单调系
对单调集合列的极限运算封闭的集合系就是单调系。即：
若对集合系$\mathcal{M}$中的任一单调集合列{An}\{A_n\}{An​}都有${\lim }_{n\to \infty }{A}_n\in \mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$是单调系。

定义6.λ系
λ系满足如下三个条件：

1. 全集包含在其中
2. 对真差运算封闭
3. 对不减集合列，极限运算封闭（$A_n\uparrow ,{\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{L}$)

定义7.σ域

1. 全集包含在其中
2. 对补运算封闭
3. 可列并封闭${\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{L}$

上面几个概念的关系
讲真这几个概念确实把人绕的…

• σ域是域
  σ域的前两条定义与域的相同。对于一个σ域，可列交：（经常遇到这种手法，利用De Morgan律）
  ∩k=1∞Ak={∪k=1∞Akc}c\cap_{k=1}^{\infty}A_k=\{ \cup_{k=1}^{\infty}A_k^c \}^c∩k=1∞​Ak​={∪k=1∞​Akc​}c
  σ域对可列并和补封闭，自然${\cap }_{k=1}^{\infty }{A}_n\in \sigma 域$，因此其对交封闭，故σ域是域。

于是得到： 由宽到紧：

$\pi$系＞半环＞环＞域＞σ域

同时易证，λ系必是单调系（需证可列交封闭），σ域是λ系，

于是得到： 由宽到紧：

单调系＞$\lambda$系＞σ域

所以，σ域是最核心的！

定义8.可测空间
千呼万唤始出来！
对一非空集合X，和其上的一个σ域$\mathcal{F}$，称$(X,\mathcal{F})$为可测空间。