走进语音识别中的WFST（一）

本人最近在研究语音识别的生成Graph和Lattice的模块，其中用到了WFST这个概念，惊叹于它的神奇也被它的复杂搞得晕头转向。于是决定静下心来仔细研读了Mohri大牛的Speech Recognition with Weighted Finite-state Transducer这篇论文和一些相关资料，算是入门了其中的算法，有些体悟在这里和大家一起探讨，也算是对自己近期学习的一个总结。本系列会先引入WFST的概念，然后介绍它的三大算法：Composition、Determinization和Minimization，最后介绍WFST在语音识别中的应用，即HCLG的操作。

首先先明确几个概念。有限状态转换器FST(finite-state transducer) 和加权有限状态转换器WFST(weighted finite-state transducer)的不同就是后者转移路径上附有权重；而WFST和WFSA(weighted finite-state acceptor)的区别就是前者的状态转移上的label既有输入又有输出而后者只有一个label。我们用WFST来表征ASR中的模型（HCLG），可以更方便的对这些模型进行融合和优化，于是可以作为一个简单而灵活的ASR的解码器（simple and flexible ASR decoder design）。

WFST是基于半环代数理论的，在介绍半环之前我先简单的说一下群和半群。

群（Group）：G为非空集合，如果在G上定义的二元运算*，满足：
（1）封闭性（Closure）：对于任意$a,b\in G$,有$a\ast b\in G$;
（2）结合律（Associativity）：对于任意$a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$;
（3）幺元（Identity）：存在幺元e，使得对于任意 $a\in G,e\ast a=a\ast e=a$;
（4）逆元：对于任意a$\in$G,存在逆元 $a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e$.
则称（G,*）为群。

半群（Semigroup）：仅满足封闭性和结合律群称为半群；如果还包含幺元，则成为幺元半群。

介绍完群和半群，我们就引入半环的概念，半环代数理论始于19世纪末，属于抽象代数的范畴，1934年Vandiver首次对它做了较为系统的研究。

半环（semiring）：指具有两个二元运算"+ “和”$\cdot$ "的非空集合S，且满足：
（1）（S,+）和（S,$\cdot$）都是半群；
（2）（∀\forall