有趣的数

原创于 2020-09-04 13:40:11 发布 · 750 阅读

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#c++ #动态规划

本文探讨了一类特殊的有趣数字的计数问题，通过动态规划方法解决，详细介绍了状态转移方程的设计思路，并提供了一个高效的算法实现，用于计算n位有趣的数的数量。

问题描述
　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3

//4.有趣的数  动态规划
//动态规划一般：第n位是根据前一位即n-1位得来的，所以要找出这个关系即状态转移方程
//问题来了，状态是什么呢
//根据题意，第一位只能放2（如果放3，2就没位置了，同理1不可以，而0也不能）
//然后第二位可以放3或0，而1的话0就没位置了
//第三位根据第二位来看，a，第二位放3时，第三位放0；b，第二位放0时，第三位放3或1
//则有以下几种状态
/*
 第一种：只有2        下标0，状态转移方程见代码
 第二种：只有2，0
 第三种：只有2，3
 第四种：只有2，3，0
 第五种：只有2，0，1
 第六种：都有了，且满足0在1前，2在3前
 */

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long  LL;

int main(){
    LL n=0;
    cin>>n;
    //dp[i][j]代表前i位有j种状态的个数
    vector<vector<LL>> dp(n+2,vector<LL>(6,0));
    //递推开始
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        dp[i][0]=1;
        dp[i][1]=(dp[i-1][0]+dp[i-1][1]*2)%1000000007;
        dp[i][2]=(dp[i-1][0]+dp[i-1][2])%1000000007;
        dp[i][3]=(dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][3]*2)%1000000007;
        dp[i][4]=(dp[i-1][1]+dp[i-1][4]*2)%1000000007;
        dp[i][5]=(dp[i-1][3]+dp[i-1][4]+dp[i-1][5]*2)%1000000007;
    }
    cout<<dp[n][5];
    return 0;
}