codeforces 855C 树DP

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本文介绍了一道关于树形DP的问题，需要对一棵树进行染色，并满足特定条件，利用动态规划的方法来求解可能的染色方案数量。

简略题意：给出一颗树，有m种颜色，第k种颜色是特殊颜色，树上最多有x个特殊颜色点。
你需要把整个树染色，且保证特殊颜色节点以下条件：
1. 与其相连的不能有特殊颜色节点。
2. 与其相连的节点的颜色序号必须小于k。
问有多少种满足要求的树。

这题的突破点在于x很小。
其实节点的颜色种类只有3种：
0. 能够和特殊颜色相连的点(小于k)。
1. 特殊颜色点(等于k)。
2. 特殊颜色外，不能和特殊颜色相连的点(大于k)。

考虑 $dp[u][i][0/1/2]$ ，表示以 $u$ 为根的子树中，有 $i$ 个特殊颜色节点， $u$ 节点的类型是 $[0/1/2]$ 分别对应以上。
枚举当前 $u$ 子树中特殊节点个数 $j$ ，枚举其子节点为根的特殊节点个数，转移详见代码。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL maxn = 110000;
LL dp[maxn][12][3];
vector<int> G[maxn];
const int mod = 1e9+7;

namespace treedp{
    int n, m;
    int k, x;
    void dfs(int u, int fa) {
        dp[u][0][0] = k - 1, dp[u][1][1] = 1, dp[u][0][2] = m - k;
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            int v = G[u][i];
            if(v == fa) continue;
            dfs(v, u);
            LL buf[12][3] = {0};
            for(int j = x; j >= 0; j--) {
                for(int k = 0; k <= j; k++) {
                    buf[j][0] += (dp[v][k][0] + dp[v][k][1] + dp[v][k][2]) * dp[u][j-k][0];
                    buf[j][0] %= mod;
                    buf[j][1] += dp[v][k][0] * dp[u][j-k][1];
                    buf[j][1] %= mod;
                    buf[j][2] += (dp[v][k][0] + dp[v][k][2]) * dp[u][j-k][2];
                    buf[j][2] %= mod;
                }
            }
            memcpy(dp[u], buf, sizeof buf);
        }
    }
    void solve() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        scanf("%d%d", &k, &x);
        dfs(1, -1);
        LL sum = 0;
        for(int i = 0; i <= x; i++) {
            sum += dp[1][i][0] + dp[1][i][1] + dp[1][i][2];
            sum %= mod;
        }
        printf("%lld\n", sum);
    }
}

int main() {
    treedp::solve();
    return 0;
}