决策单调性小结

1D1D动态规划
指状态数为$O(n)$，每个状态的决策数为$O(n)$，直接求解的复杂度为$O(n^2)$的动态规划方程dp[i]=min/max{ dp[j]+S[i,j]}dp[i] = min/max \{dp[j] + S[i, j]\}dp[i]=min/max{ dp[j]+S[i,j]}。

斜率优化
斜率优化是1D1D的一种常见优化方式，一般的套路是先写出$dp$方程，然后对于考虑$i$之前的某个决策$j$和$k$,假设$k$决策优于$j$决策时，能对应得到一个不等式，满足这个不等式就表示$k$决策是优于$j$决策的，并且此时惊奇的发现可以把决策看做平面上的点，不等式也就转化成了斜率的比较。
此时$i$之前的最优决策点一定是在上/下凸壳上。

具体实例
对于斜率式，设$k>j$且$k$和$j$都是i的前置状态， 满足yk−yjxk−xj<fi\frac{y_k-y_j}{x_k-x_j}<f_i