21、多回路系统控制策略解析

多回路系统控制策略解析

1. 多回路系统概述

在经典控制系统中，存在许多先进的控制策略，本文将介绍级联控制、前馈控制、比率控制等策略，还会探讨多输入多输出系统的交互和解耦问题。主要目标包括：
- 对级联控制、前馈控制、前馈 - 反馈控制、比率控制和用于时间延迟补偿的史密斯预估器进行经典控制器分析。
- 用相对增益阵列分析多输入多输出（MIMO）系统，并评估操纵变量和被控变量的配对情况。
- 尝试解耦并消除两输入两输出系统中的交互作用。

2. 级联控制

级联控制是过程工程中常见的设计策略，能更有效地应对操纵变量的负载变化。以燃气炉的温度控制为例，燃料气体流量是操纵变量，其流量会因上游压力变化而波动。

2.1 单回路系统与级联控制系统对比

• 单回路系统 ：测量出口温度，温度控制器（TC）将信号发送到调节阀。若燃料气体流量波动，该系统直到控制器检测到炉温偏离设定点（Ts）才会对抗干扰。
• 级联控制系统 ：设计了一个次级回路（也称为从回路）来调节调节阀，从而操纵燃料气体流量。温度控制器（主控制器）将期望流量信号发送到次级流量控制回路，该信号本质上是次级流量控制器（FC）的设定点。次级回路中的流量控制器将期望的燃料气体流量与流量传感器（FT）测量的流量进行比较，并相应地调节调节阀。这个内部流量控制回路能立即响应燃料气体流量的波动，确保输送适量的燃料。

为使级联控制有效，次级回路的响应时间必须比外部回路更快（时间常数更小），通常使用尽可能高的比例增益，即内部回路调整得非常紧密。

2.2 级联控制的框图分析

可以用框图描述级联控制系统，级联控制增加了一个具有次级控制器功能 Gc2 的内部控制回路。该实现需要两个控制器和两个测量变量（燃料气体流量和炉温），炉温是被控变量，燃料气体流量是唯一的操纵变量。

为简化代数运算，假设测量传递函数 Gm1 = Gm2 = 1。将导致燃料气体流量变化的干扰（如上游压力）视为次级流量控制回路的一部分。

通过一系列代数运算，可将框图简化。首先关闭内部回路，使系统成为标准反馈回路。具体步骤如下：
设 e2 = p – a，a = Gc2Gve2 + GLL，将 e2 代入可得：
a = Gc2Gv(p – a) + GLL
整理后得到：
a = (\frac{Gc2Gv}{1 + Gc2Gv} p + \frac{GL}{1 + Gc2Gv} L = Gv^ p + GL^ L)
其中 (Gv^ = \frac{Gc2Gv}{1 + Gc2Gv})，(GL^ = \frac{GL}{1 + Gc2Gv})

简化后的框图对应的闭环传递函数为：
(C = \frac{Gc Gv^ Gp}{1 + Gc Gv^ Gp}R + \frac{Gp.GL^ }{1 + Gc Gv^ Gp}L)
级联系统的闭环特征多项式为：
(1 + Gc Gv^ Gp = 0)
将 (Gv^ ) 代入后，特征多项式变为：
(1 + Gc2Gv + Gc Gc2Gv Gp = 0)

2.3 级联控制示例分析

考虑一个简单的级联系统，主回路使用 PI 控制器，从回路使用比例控制器。假设一阶函数：
(Gp = \frac{0.8}{2s + 1})，(Gv = \frac{0.5}{s + 1})，(GL = \frac{0.75}{s + 1})

• (a) 从回路控制器增益 Kc2 对执行器性能和操纵变量干扰的影响 ：
  将 (Gc2 = Kc2)，(Gv = \frac{Kv}{\tau v s + 1}) 代入 (Gv^ ) 可得：
  (Gv^ = \frac{Kc2Kv}{(\tau v s + 1) + Kc2Kv} = \frac{Kv^ }{\tau v^ s + 1})
  其中 (Kv^ = \frac{Kc2Kv}{1 + Kc2Kv})，(\tau v^ = \frac{\tau v}{1 + Kc2Kv})
  同理，将 (GL = \frac{KL}{\tau v s + 1}) 代入 (GL^ ) 可得：
  (KL^ = \frac{KL}{1 + Kc2Kv})
  随着比例增益 Kc2 增大，(Kv^ ) 趋近于单位增益，意味着操纵变量的变化更有效；(KL^ ) 趋近于零，意味着操纵变量对负载变化的敏感度降低；有效执行器时间常数 (\tau v^*) 变小，意味着响应更快。

• (b) 确定从回路时间常数为原时间常数十分之一时的比例增益 Kc2 ：
  已知 (Kv = 0.5)，(\tau v = 1 s)，(\tau v^ = 0.1 s)，代入 (\tau v^ ) 的公式可得：
  (0.1 = \frac{1}{1 + 0.5 Kc2})
  解得 (Kc2 = 18)
  稳态增益为：
  (Kv^* = \frac{(18) (0.5)}{1 + (18) (0.5)} = 0.9)
  从回路相对于次级控制器的期望设定点变化会有 10% 的偏差。

• (c) 从回路使用比例控制的原因 ：
  从回路中 10% 的偏差在大多数情况下是可以接受的。只要外部回路有积分作用，主控制器就可以对其输出进行必要的调整，确保被控变量（如炉温）没有稳态误差。

• (d) 选择合适的积分时间常数 ：
  使用根轨迹法分析，对于 PI 主控制器和给定数值，方程 (1 + Kc\frac{\tau Is + 1}{\tau Is}\frac{0.9}{0.1 s + 1}\frac{0.8}{2 s + 1} = 0)。
  用 MATLAB 绘制 (\tau I = 0.05)，(0.5) 和 (5 s) 时的根轨迹图。从根轨迹图可知，(\tau I = 0.05 s) 时系统可能不稳定；(\tau I = 5 s) 时系统始终稳定，但系统响应速度受原点和 -0.2 之间的主导极点限制；(\tau I = 0.5 s) 是合适的选择，此时系统始终稳定，闭环极点可以更远离原点。

• (e) 有无级联控制时系统稳定性对比 ：
  选择 (\tau I = 0.5 s)，无级联控制时，闭环方程为：
  (1 + Gc Gv Gp = 1 + Kc\frac{0.5 s + 1}{0.5 s}\frac{0.5}{s + 1}\frac{0.8}{2 s + 1} = 0)
  展开为：
  (s^3 + 1.5 s^2 + (0.5 + 0.2Kc) s + 0.4Kc = 0)
  通过劳斯 - 赫尔维茨分析可知，要使系统稳定，必须保持 (Kc < 7.5)。

有级联控制时，闭环特征方程为：
(1 + Kc\frac{0.5 s + 1}{0.5 s}\frac{0.9}{0.1 s + 1}\frac{0.8}{2 s + 1} = 0)
即 (0.1 s^3 + 1.05 s^2 + (0.5 + 0.36Kc) s + 0.72Kc = 0)
劳斯 - 赫尔维茨分析可证实系统更稳定，允许在主控制器中使用更大的比例增益，主要原因是内部回路执行器的响应更快（时间常数更小）。

以下是级联控制的流程：

graph LR
    A[温度控制器 TC] --> B[发送期望流量信号]
    B --> C[次级流量控制回路 FC]
    C --> D[流量传感器 FT 测量流量]
    D --> E[流量控制器比较流量]
    E --> F[调节调节阀]
    F --> G[控制燃料气体流量]
    G --> H[影响炉温]
    H --> I[温度传感器反馈炉温]
    I --> A

3. 前馈控制

为了对抗可能的干扰，前馈控制比级联控制更积极主动。其思想是，如果能测量干扰变化，就可以利用这些信息和过程模型知识，在干扰影响被控变量之前对操纵变量进行适当调整。

3.1 前馈控制示例

继续以燃气炉为例，假设炉温（T）的变化可以通过燃料气体流量（Ffuel）和冷工艺物流流量（Fs）的变化来实现，其他变量（如工艺物流温度）保持不变。燃料气体流量是操纵变量（M），冷工艺物流流量变化是另一个干扰（L）。

假设通过热量和质量平衡推导出相应的传递函数 (GL) 和 (Gp)，得到过程模型：(C = GLL + GpM)，其中 (C) 是被控变量（代替炉温 T）。

希望被控变量精确跟踪设定点变化（R），将 (C = R) 代入并整理可得：
(M = \frac{1}{Gp}R - \frac{GL}{Gp}L)
该方程提供了一个基于模型的规则，说明当设定点改变或面临负载变量变化时，操纵变量应如何调整。这是动态前馈控制的基础，因为 (C = GLL + GpM) 是从时域微分方程（瞬态模型）推导出来的。

在上述方程中，(\frac{1}{Gp}) 是设定点跟踪控制器，但实际中很少单独使用前馈控制器，大多数情况下，设定点变化由反馈控制回路处理，只需实现 (-\frac{GL}{Gp}) 这一项，它是前馈控制器（或干扰抑制控制器）。

3.2 前馈控制的框图与实现

用框图描述前馈控制系统，实现前馈控制需要测量负载变量。若有多个负载变量，理论上可以为每个变量实现一个前馈控制器，但除非有充分理由，否则应选择波动最严重或对被控变量影响最大的变量。

用 (L) 表示主要负载变量，其传递函数为 (GL)。用传感器 (GmL) 测量负载变量，将信号传输到前馈控制器 (GFF)，前馈控制器再将决策发送到执行器（阀门 (Gv)），在框图中执行器传递函数用 (G*v) 表示，因为可能会对执行器实施级联控制。

前馈和负载路径对应的代数表示为：
(C = [GL + GmLGFFG vGp] L)
理想的前馈控制器应能对执行器进行适当调整，以实现负载变化的完美抑制。要使 (C = 0)，理论上前馈控制器函数为：
(GFF = -\frac{GL}{GmLG vGp})

3.3 前馈控制器的实现问题与解决方案

在将上述公式编程到计算机之前，需要认识到一些陷阱。如果写出传递函数，会发现 (GFF) 在物理上不可实现，因为分子多项式的阶数高于分母多项式的阶数。

若将复合函数 (GmLG*vGp) 近似为具有死区时间的一阶函数 (\frac{Ke^{-\theta s}}{\tau s + 1})，则 (GFF) 变为：
(GFF = -\frac{KL}{K}\frac{\tau s + 1}{\tau p s + 1} e^{\theta s})
此时死区时间表现为正指数，即时间提前，这在现实中是不可能的。

因此，大多数简单的前馈控制器实现，特别是使用现成硬件时，是一个带有增益的超前 - 滞后元件：
(GFF = KFF\frac{\tau FLD s + 1}{\tau FLG s + 1})
基于 (GFF = -\frac{GL}{GmLG vGp})，前馈控制器的增益为：
(KFF = -\frac{KL}{KmLK vKp})
这是稳态补偿器，超前 - 滞后元件（超前时间常数 (\tau FLD) 和滞后时间常数 (\tau FLG)）是动态补偿器，实现时省略了传递函数中的任何死区时间。

调整前馈控制器时，作为一阶近似，可将 (\tau FLD) 取为 (\tau m) 和 (\tau v) 的时间常数之和，滞后时间常数 (\tau FLG \approx 0.1 \tau FLD)。如果测量设备的动态响应极快（(Gm = KmL)）且有级联控制，(\tau v) 也很小，则可能不需要前馈控制器中的超前 - 滞后元件，仅使用稳态补偿器 (KFF) 可能就足够了。无论如何，前馈控制器必须通过计算机模拟和现场测试进行调整。

以下是前馈控制的流程：

graph LR
    A[测量负载变量 L] --> B[传感器 GmL 传输信号]
    B --> C[前馈控制器 GFF 计算]
    C --> D[发送决策到执行器 G*v]
    D --> E[调节操纵变量 M]
    E --> F[影响被控变量 C]
    G[负载变量 L 直接影响 C] --> F

综上所述，级联控制和前馈控制在不同场景下能有效应对干扰，提高控制系统的性能和稳定性。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的控制策略，并对控制器进行合理调整。

多回路系统控制策略解析

4. 比率控制

比率控制的理念较为简单，它能很好地应用于一些实际问题，例如在燃气炉问题中就有其用武之地。比率控制的核心在于维持两个变量之间的固定比率关系。

4.1 比率控制原理

假设存在两个变量，一个是主变量，另一个是从变量。比率控制的目标是使从变量与主变量保持一个预定的比率。在燃气炉的例子里，我们可以将燃料气体流量作为从变量，而将冷工艺物流流量作为主变量。通过设定一个合适的比率，当主变量（冷工艺物流流量）发生变化时，从变量（燃料气体流量）会相应地进行调整，以维持这个固定的比率。

设主变量为 (X)，从变量为 (Y)，预定的比率为 (K)，则比率控制的基本关系可以表示为：(Y = KX)

4.2 比率控制的应用

在实际应用中，比率控制可以通过测量主变量和从变量的值，然后根据预定的比率进行比较和调整。例如，使用传感器测量冷工艺物流流量（主变量）和燃料气体流量（从变量），将测量值传输到控制器。控制器根据预定的比率 (K) 计算出从变量的理想值，并将其与实际测量的从变量值进行比较。如果存在偏差，控制器会调整执行器（如调节阀），以改变从变量的值，使其趋近于理想值。

比率控制的优点在于它能够快速响应主变量的变化，并且在一定程度上可以减少干扰对系统的影响。然而，它也有一定的局限性，例如比率的设定需要根据具体的工艺要求和经验进行确定，如果比率设定不当，可能会导致系统性能下降。

以下是比率控制的流程：

graph LR
    A[测量主变量 X] --> B[传输到控制器]
    C[测量从变量 Y] --> B
    B --> D[控制器计算理想值 KY]
    D --> E[比较理想值和实际值]
    E --> F[存在偏差时调整执行器]
    F --> G[改变从变量 Y]

5. 多输入多输出（MIMO）系统

多输入多输出系统涉及多个输入变量和多个输出变量，系统中存在复杂的交互作用。我们通过一个简单的混合问题来进行说明，并探讨交互和解耦的问题。

5.1 混合问题示例

假设有一个混合过程，有两种不同的原料需要混合，每种原料的流量是输入变量，混合后产品的某些质量指标（如浓度、温度等）是输出变量。不同输入变量之间以及输入变量与输出变量之间可能存在相互影响。

设输入变量为 (u_1) 和 (u_2)，输出变量为 (y_1) 和 (y_2)，系统可以用以下的传递函数矩阵表示：
(\begin{bmatrix}y_1\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{11}&G_{12}\G_{21}&G_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\u_2\end{bmatrix})
其中 (G_{ij}) 表示第 (i) 个输出变量对第 (j) 个输入变量的传递函数。

5.2 相对增益阵列分析

相对增益阵列（RGA）是分析 MIMO 系统交互作用的重要工具。相对增益阵列的元素 (\lambda_{ij}) 定义为：
(\lambda_{ij}=\frac{(\frac{\partial y_i}{\partial u_j}) {u {k\neq j}}}{(\frac{\partial y_i}{\partial u_j}) {y {k\neq i}}})
通过计算相对增益阵列，可以评估输入变量和输出变量之间的配对情况。如果 (\lambda_{ij}) 接近 1，则表示第 (i) 个输出变量与第 (j) 个输入变量之间的配对是合适的，交互作用较小；如果 (\lambda_{ij}) 远离 1，则表示存在较强的交互作用，需要进行解耦处理。

以下是相对增益阵列分析的步骤：
1. 确定系统的传递函数矩阵 (G)。
2. 计算每个元素的相对增益 (\lambda_{ij})。
3. 根据相对增益的值评估配对情况。

5.3 解耦方法

为了消除 MIMO 系统中的交互作用，可以采用解耦控制的方法。解耦的基本思想是设计一个解耦器，使得解耦后的系统各个输入 - 输出通道之间相互独立。

常见的解耦方法有前馈解耦和反馈解耦。前馈解耦是在系统的输入侧加入一个解耦网络，通过对输入信号进行预处理，消除输入变量之间的耦合影响。反馈解耦则是在系统的输出侧加入一个反馈网络，根据输出变量的偏差进行调整，以消除输出变量之间的耦合影响。

以下是前馈解耦的简单流程：

graph LR
    A[输入信号 u] --> B[解耦网络]
    B --> C[处理后的输入信号 u']
    C --> D[被控对象]
    D --> E[输出信号 y]

6. 不同控制策略对比

为了更清晰地了解级联控制、前馈控制、比率控制和 MIMO 系统控制策略的特点，我们对它们进行对比分析。

控制策略	优点	缺点	适用场景
级联控制	能有效应对操纵变量的负载变化，提高系统响应速度和稳定性	需要多个控制器和测量变量，系统结构相对复杂	适用于存在干扰影响操纵变量，且对响应速度和稳定性要求较高的系统
前馈控制	能在干扰影响被控变量之前进行调整，具有较强的抗干扰能力	需要精确的过程模型和干扰测量，实现较为复杂	适用于干扰可测量且干扰对系统影响较大的情况
比率控制	原理简单，能维持变量之间的固定比率关系	比率设定需要经验，设定不当会影响系统性能	适用于需要维持两个变量之间固定比率的场景
MIMO 系统控制	能处理多个输入和输出变量的复杂系统	系统交互作用分析和解耦处理较为复杂	适用于具有多个输入和输出变量，且变量之间存在耦合关系的系统

7. 总结与展望

综上所述，级联控制、前馈控制、比率控制以及 MIMO 系统控制策略在不同的场景下各有其优势和局限性。在实际应用中，我们需要根据具体的系统特性、干扰情况和控制要求，选择合适的控制策略。

对于级联控制，要注意合理设计次级回路的参数，确保其响应速度快于外部回路，以提高系统的稳定性和响应性能。前馈控制则需要准确获取干扰信息和建立精确的过程模型，通过计算机模拟和现场测试进行控制器的调整。比率控制要谨慎设定比率，根据实际工艺情况进行优化。在处理 MIMO 系统时，要利用相对增益阵列等工具进行交互分析，并选择合适的解耦方法。

未来，随着工业自动化的不断发展，控制系统将面临更加复杂的环境和更高的要求。我们可以进一步研究如何将这些控制策略进行组合应用，以发挥它们的协同优势。同时，结合先进的传感器技术和数据分析方法，提高控制系统的智能化水平，更好地应对各种干扰和不确定性，实现更高效、稳定的控制目标。

在实际工程中，我们还需要不断积累经验，根据具体问题进行灵活调整和优化，以确保控制系统能够满足生产的需求，提高生产效率和产品质量。