14、闭环系统稳定性分析方法详解

闭环系统稳定性分析方法详解

1. 引言

在设计闭环系统时，系统的动态响应特性往往有特定的要求。然而，这一切的前提是系统必须稳定。因此，确保系统的稳定性是控制系统设计中首要考虑的问题，甚至可以将稳定性作为一种设计工具。接下来将介绍三种分析闭环系统稳定性的技术：
- 劳斯 - 赫尔维茨准则确定稳定区域
- 代入 (s = j\omega) 寻找临界稳定时的根
- 闭环极点的根轨迹图

2. 稳定性的定义

我们的目标很明确，就是要确保控制器的设置不会导致系统不稳定。考虑闭环系统的响应，其表达式为：
[C = \frac{K_m G_c G_a G_p}{1 + G_mG_c G_a G_p}R + \frac{G_L}{1 + G_mG_c G_a G_p}L]
其特征方程为：
[1 + G_mG_cG_aG_p = 0]
闭环系统稳定的条件是特征多项式的所有根的实部均为负，或者说闭环传递函数的所有极点都位于左半平面（LHP）。这里系统的稳定性完全由系统的固有动态特性决定，与输入函数无关，这一结论适用于伺服和调节问题。

另一个常见的稳定性定义是有界输入有界输出（BIBO）稳定性：若对于任何有界输入，系统的输出响应都是有界的，则称该系统是 BIBO 稳定的。例如，当闭环极点位于原点时，若输入为脉冲或矩形脉冲，响应是有界的；但输入为有界的阶跃信号时，响应为无上限的斜坡信号。所以，任何闭环极点位于虚轴上的控制系统都不能被接受，极点必须位于左半平面。

此外，反馈控制回路的加入可能使过程稳定，也可能使其不稳定。下面以一个经典例子来说明如何稳定一个开环不稳定的过程。