趣题:三角形中的六点共圆

求三点共圆求圆心半径及其推导(三角形外心) 文章目录问题引入问题分析公式推导代码实现例题高维情况三维三角形外心n维度三角形外心 问题引入 给定二维平面上三个不共线的点 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)A(x0​,y0​),B(x1​,y1​),C(x2​,y2​), 求出他们形成的圆的圆心和半径。 问题分析 计算几何问题常用数形结合解决,不妨设圆心 O(x,... 阅读详情

    下面这个有趣的问题来自IMO 2008第一题,题目给出的结论非常美妙。
 
    给定一个锐角三角形△ABC,垂心为H。Ma、Mb、Mc分别为三条边的中点。以Ma为圆心,过点H的圆与线段BC相交于点A1、A2;类似地,以Mb、Mc为圆心,过点H的圆与三角形交于B1、B2、C1、C2。求证,A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆。


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
    首先注意到,图中三角形的三条垂线正好穿过了圆和圆之间的公共弦。我们可以很轻易地证明这一点。只需注意到线段MaMb是三角形的中位线,它平行于AB,我们立即得到MaMb⊥HC;而过两圆交点并垂直于连心线的正好就是两圆的公共弦,因此圆Ma和圆Mb的公共弦在HC上。对于其余两对圆有同样的结论。由于C在圆Ma和圆Mb的公共弦的延长线上,因此C到两圆的切线一样长。假设这个长度为t。另外,把圆Ma和圆Mb的半径长分别记作Ra、Rb。观察两个蓝色的直角三角形,显然有(AC/2)^2 - (Rb)^2 = t^2 = (BC/2)^2 - (Ra)^2。
    另一方面,如果题目中的六个点共圆,圆心一定在A1A2、B1B2、C1C2的中垂线的交点上(实际上也就是△ABC的外心)。假设这个点为O,它到Ma、Mb的距离分别为Sa、Sb。观察两个绿色的直角三角形,显然有(AC/2)^2 + (Sb)^2 = (OC)^2 = (BC/2)^2 + (Sa)^2。两式相减,有(Rb)^2 + (Sb)^2 = (Ra)^2 + (Sa)^2,应用到△OMaA1、△OMaA2、△OMbB1、△OMbB2四个直角三角形上,立即可以看到点O到A1、A2、B1、B2的距离相等,这四个点共圆。
    同理,B1、B2、C1、C2也共圆,因此这六个点都在同一个圆上。

参考资料:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CirclesThroughOrthocenter.shtml

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plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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