五点共圆证明方法

在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是K、O、N、M、L。

求证：K、O、N、M、L五点共圆。

要证K、L、M、N、O五点共圆，分别证明K、L、M、N四点共圆和L、M、N、O四点共圆。

下面证明证明K、L、M、N四点共圆：

连接KL、LM、MN、NK，即证明∠LMN + ∠LKN = 180°

 

我们先证明A、C、N、K 四点共圆，因为证明∠LMN + ∠LKN = 180°需要用到。

连接NC、NI、NH

  ∠ACN + ∠AIN 

= ∠NHD + ∠AIN 

= ∠NID + ∠AIN

=180°

故 A、C、N、I 四点共圆

同理，A、K、N、I 四点共圆

所以，A、C、N、K 四点共圆

 

∠LMN = ∠LMG + ∠GMN （连接LF、GM） ① 

∠LMG = 180°- ∠LFG = ∠LFA = ∠LKA② 

∠GMN = ∠GCN = ∠ACN = 180°- ∠AKN （因为A、C、N、K 四点共圆） ③

联立①②③得

∠LMN = ∠LKA + （180°- ∠AKN） ④

④ 两边同时加∠AKN得

∠LMN  + ∠AKN = ∠LKA + （180°- ∠AKN）+ ∠AKN = 180°，得证。

故 K、L、M、N四点共圆；

同理可得 L、M、N、O四点共圆；

故 K、L、M、N、O五点共圆。