matrix67的专栏

    重要通告：最近多次发现我的tom邮箱发出的邮件被识别成了垃圾邮件，是什么原因我还不是很清楚。最近向我的tom邮箱发过邮件但迟迟没有收到回复的朋友麻烦检查一下垃圾邮件箱，或者重新给我发一次邮件，我换一个邮箱回复您。    数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但

    连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。    这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x

    由于勾股数组有无穷多个，因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如，(3,4,5)是一组勾股数，因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍，则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点；将这个圆的圆心平移至一个有理点，则同样地，原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论：在平面直角坐标系内，任意一个以有理点为圆心，有理数为

    最近在reddit上看到了这么一个有趣的问题：下图是一个单位立方体，黑色实线分别是立方体相邻两个面的两条对角线。你觉得这两条对角线之间的最短距离是多少？       可以提前告诉你，答案不是√2/2。                                把立方体投影到一个平面上，使得其中一条对角线被映

    某日夜里我突发奇想，想到用分形图形来表示各种几何级数，于是写下了上一篇日志。日志发出后我收到了相当多的回复，很多网友告诉我说，这篇日志还留下了很多空白，大有扩展的潜力和推广的空间，非常具有启发性。网友morrowind在原日志第29楼评论说，大图形里面放置若干个相似的小图形时，并不一定要对应边与对应边相拼。考虑一个边长分别为1和根号5的矩形，它能够轻易地分成五个相同的小矩形，

    上个月的UyHiP谜题涉及到一些抽象代数的东西：考虑一个有f个元素的有限域，其中c是有限域中的一个元素。试求x^2+y^2=c有多少个解。你的答案应该是一个关于f和c的函数。    有趣的是，对所有c≠0的情况，x^2+y^2=c的解的个数与c都是无关的。事实上，方程解的个数只与f模4的余数和c是否为零元有关。具体地说： c = 0c ≠ 0f mod 4

    暑假我暂时先不回重庆。我加入了一个小学奥数培训机构，7月中旬可能要带一个班，讲十几天的课。永远不要鄙视小学奥数——它的解题思路之精妙是中学数学竞赛所不能相比的。大家还记得在学解方程之前鸡兔同笼问题是怎么做的吗？答案：首先假设所有脑袋都是兔子，你会发现脚脚的个数变多了，这是因为你把其中一些鸡错当成了兔子。每把一只鸡算作一只兔子就会多算两只脚脚，因此小鸡的个数就是脚脚的差值除以2

21. 一个男人杀死自己的妻子，然后回到自己的房间，而后自杀。答案：为了庆祝自己50岁生日，男人计划杀死自己的妻子，然后拿走所有的钱，到一个新的城市去过一个崭新的生活。他的妻子带他出去晚餐，回家时男人在房前杀死了她。他打开家门，把妻子的尸体拖进房间，突然屋里的所有灯同时亮起，他的朋友们跳出来大叫“Surprise”。他自杀了。22. 如果当时他开了灯，他就不会死了。答案：在一次

开始玩雷顿教授2（我落后了，大家鄙视我吧）。雷顿教授系列不但剧情很科学，而且有些谜题也能让人眼前一亮。第一个让我眼前一亮的谜题是雷顿教授1里面的那个关于椅子的问题。我前不久碰到了本系列中第二个让我开怀大笑的谜题，我看出答案后旁若无人地大笑了半分钟。你需要多久才能反应过来？死活看不出来的人先用脑袋撞墙三分钟，然后Ctrl+A看答案。答案：图D有问题。杯子是三维的呀，你能像图D那样把

    我们上次说到，不是所有的平面图都是可4选择的。于是人们接着猜想，是不是所有平面图都是可5选择的呢？1994年，Carsten Thomassen证明了，所有平面图都是可5选择的。这个证明极其简单，论文全文不足两页，证明过程仅十多行。证明对平面图中的区域数n施归纳。有趣的是，归纳的命题比我们待证明的命题要强得多，否则原命题反而证不到。    为简便起见，我们假设平面图是一般的

    网友Qian Yongchao发来邮件说，他在阅读当前正大红大紫的一本书叫做Outliers。书中谈到IQ测试时，作者提到了Ravens Progressive Matrices测试法。这是一系列从易到难的题目，一般有48道题。为了说明这种测试可以有多难，作者给出了整个测试的最后一道题，这道题目即使作者自己也不知道该怎么做。我在网上搜索了一下，确信书上印的题目是错误的。其实

    大学生活的乐趣不光体现在吃喝玩乐上，更重要的是它所提供的自由学习的场所。你可以在网上搜索课表，看看什么时候什么教室有什么牛B课，记在手机中的待办事项中，到时候到那个教室去旁听。旁听的乐趣就在于，你可以去学任何你想学的东西，不用交作业，不用怕点你名，不用记笔记，不用考试，只需要挂个耳朵在那儿听牛B东西就行了。前天一大早就被兔子叫起来，跟着一起去旁听了一节数理逻辑。    课程

    如果删除字符串A中的若干字母可以得到字符串B，我们就说A包含B（熟悉相关概念的网友可能知道，有一个准确的说法叫做“B是A的子序列”，但为了避免和后面的“序列”混淆，我们不用这种说法）。例如，字符串“matrix”包含了“mix”，也包含“ati”，但不包含“it”。字符串序列aaaaa, ab, bbaa, baaaa, aa, bbacc, cbcacc, bb中的每个字符

    概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果，条件概率尤其如此。网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时，总会引来无数人的围观和争论，哪怕这些问题的实质都是相同的。    来看两道简单的组合数学问题：       1. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？       2. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个黑桃A。请

    某日凌晨4点多，网友Superwyh发来短信说，他梦到了这样一个颇具启发性的问题：如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？正好当时我还没睡，稍微想了一下，发现这个命题是成立的，因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等，那它们之间一定能够插入其它的数（例如这两个数的算术平均值）；反过来，如果两个数之间无法插入别的数，这两个数自然就应该相等了。

    我们常常在电视上看到这样的一幕：一位老太太兴冲冲地走上台去，翻过三个商标牌，发现上面尽是5块钱、10块钱的小奖，垂头丧气地回到观众席；然后马脸李咏会跑出来，边翻着另外几个牌子边说，1000块的大奖在这个后面，800块的在这里，之类的。或许有人会纳闷了，为什么主持人要演出“事后揭大奖”这一幕呢？道理很简单，节目组想通过这一个“验证过程”告诉观众，这个环节不是骗人的，大奖真的就在

有人觉得眼熟吗？View Larger Map                 答案：http://en.wikipedia.org/wiki/File:Konigsberg_bridges.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg#Present_s

    某日，在阅微堂看到一句非常深刻的话：“所有大学生都应该学的两门课程，一是经济学，二是概率论；这两门课分别代表着一种生活中的思维方式。”每一个学过经济学和概率论的人都明白，这句话概括得太贴切了。这两门课程其实都是一种关于生活的学问，它们都是用简单的理性思维和数学方法解释各种奇怪的现象，对未来的事件进行预测。    可惜我对经济学了解不多。在经济学方面，唯一看过的书是一个MM给

    大家都知道，三角形具有稳定性。如果你把三根木条钉成一个三角形，则这几根木条是不能活动的。这是因为，根据三角形的SSS全等判定法则，两个三角形的三边长对应相等，则这两个三角形一定全等。但四边形就不是了，用四根一样长的木条钉成一个正方形，握着相对的两个角往两边一拉，正方形就变成菱形了。不知道大家想过没有，类比到三维空间中，多面体的稳定性又是怎样的呢？    Cauchy定理指出

       一个完全图K_n是指一个有n个顶点的图，其中每两个点之间都有一条边相连。一个完全二分图是指这样一种图，图中的顶点分为两个点集L和R，L里的每个顶点都和R里的所有点相连。上图显示了一种把K_5划分为四个完全二分图的方法（分别用红蓝绿灰四种颜色来表示这四个子图）。你觉得，最少可以把完全图K_n划分成多少个完全二分图？给出一种划分方案，并证明这个数目已经不能再少了。 

    打完了World of Goo，确实是一个难得一见的好游戏。自从打完Portal后，很久没玩到这么好的游戏了。遗憾的是呢，和Portal一样，这个游戏的关卡并不难，游戏时间也太短了一些。一款好的游戏会设置一些在游戏通关后仍然具有可玩性和挑战性的环节，比如这个游戏中你的终极目标就是反复挑战关卡收集尽可能多的球球，在Tower of Goo里面建造尽可能高的塔。如何用尽可能少的球

    首先呢，让我们来一个牛B函数大回顾。这下我不知道要赚多少的PV。你能否构造一个函数f(x)，使得：  它是一个阶梯状的连续函数？  它是除常函数之外的没有最小正周期的周期函数？  该函数只在一点连续？  该函数在[0,1]和(0,1)之间形成一一对应？  该函数某一点导数为正，但该点邻域不构成单增区间？  平面上任意小的圆内均包含函数上的点？    另外还有一些

    这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东

    今天是10月25日。祝古汉MM生日快乐。    曾经有一段时间这个Blog的访问量和订阅量剧增，后来才知道因为这个Blog上的一道牛B题目被出成POJ的月赛题了。那道题目真的很好玩，题目和解答都很简单有趣。其实我挺喜欢这种“给出一个算法并证明该算法最优”类型的数学题目。这里再和大家分享一个类似的比较老的题目，有兴趣的话不妨先想想再看答案。    一次“交换”操作是指将数列

    在去年10月份的数学文化节期间，我去听了好几次讲座，其中有一些讲的相当精彩。时间过得好快，转眼间又是一年了，如果不是Wind牛发短信问我去不去听讲座，我估计今年数学文化节过了都还想不起这档子事。于是和Wind牛跑去二教309，听了一场叫做《从数据中挖掘因果关系》的讲座。这个题目是很有趣的：数据本身并不说谎，难就难在我们如何从中挖掘出正确的信息。当我们讨论数据时，我们讲的最多的

    上周六的离散数学课上，我学到了一个比较有趣的东西：有序对的定义。在引入有序对之前，所有的东西都是以集合为基础的；因此当我们讨论到有序对的概念时，我们只能用集合的语言去描述它。如何用集合来叙述有序对，使得=当且仅当a=c且b=d呢？集合本身的无序性给我们带来了相当大的困难。比如，大多数人可能会想到:={a,{b}}。可惜这种定义方法是错误的。考虑集合{ {1}, {2} }，则

    很多时候，我们往往不知道如何证明一些最简单、最基本的命题，即使证明本身也并不复杂。上个星期我去《数学思维方法与创新》这门通选课时，丘维声教授就提到了这个问题；在随堂统计中，知道三角函数和角公式证明方法的人出乎意料的少，而事实上高中的数学教材上印有这个公式的完整证明。    试着证明这个定理：给定一个圆，则端点在圆周上的平分圆面积的曲线以圆的直径最短。     

  来源：http://brownsharpie.courtneygibbons.org/?p=752

    想必搞OI/ACM的朋友都应该知道八皇后问题，这是学习编程的必修课程之一：在国际象棋棋盘上最多可以放置多少个互不攻击的皇后（皇后可以攻击它所在的行、列、对角线方向上的棋子）？显然，能够放置的皇后数不超过8个，因为国际象棋的棋盘一共就8行8列。事实上，放置8个互不攻击的皇后是有可能的，并且方法不止一种。    上个月的IBM Ponder This考虑了一个八皇后问题的扩展：

    难以想像，一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤紧身牛仔裤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了，现在显然我已经找到了一个更酷的证明。    Pick定理是说，假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P，那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1，其中i为多边形内部所含的格点数，b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多

    网友hetong_007在他的Blog上分享了几个“一句话证明”：    在一个圆周上有若干个实数，将它们染成或红或蓝，满足红数等于左右两个相邻数的和，蓝数等于左右两个相邻数的和再除以2。求证，红色数的总和为零。    我们用S红来表示所有红数的和，S蓝来表示所有蓝数的和，S表示所有数的和。于是不难得出S红+S蓝=S；S红+2S蓝=2S。    定义f(x)满足：定义域

在ahapuzzles.com逛了一天，看到了不少好玩的东西。Update: 刚收到Lloyd King发来的邮件，我很高兴。所有这些谜题都是他创作的。他有一本书就叫做Amazing "Aha!" Puzzles，里面全是让人拍案叫绝的谜题。 问号处应该填哪一个图形？答案：E。各方块的对角线组成了数字3、4、5、6、7的字样。   问号处应该填什么数字？答案：

如果一个矩形可以分割为若干个小矩形，每个小矩形都有至少一边为整数长，则原矩形同样有至少一个长度为整数的边。换句话说，用至少有一边的长度是整数的小矩形拼成一个大矩形，大矩形也有至少一条整数长的边。    不假，利用数论知识我们真的可以证明这个和数论八杆子打不着的题目。证明的关键就在于，质数有无穷多个。给定一个满足要求的大矩形，如果你宣称它的每条边都不是整数，它们都至少多出了大小为ε的

    我在学校时，时不时会有人闯进宿舍，给宿舍里的每个人发一张调查表邀请大家填写。如果我不是很忙的话，通常还是很乐意填写的。不过，有时我很悲哀的发现，很多调查表的设计都很缺乏科学性。设计一张合理的调查表并不是一件容易的事情，你需要综合考虑各方面的因素。例如，假如你需要在调查表中问一个极度隐私的问题，尽管你在调查表上再三强调你们的保密措施，但你真的指望所有人都能够如实地回答吗？你真的

来源：http://digg.com/general_sciences/Imaginary_Numbers

上个月Erich Friedman的Math Magic提出了这样的问题：给定一个指定形状的棋盘，给定一个大于2的整数n，找出一个面积最大的图形S使得n个S能够不重叠地装进这个棋盘里。问题提出之后得到了不少有趣的构造，这些构造是否为最优解还有待进一步证明。 由三个格子组成的棋盘共有两种本质不同的形状。“长条形”已经不用多考虑，“拐角形”中n=2, 3, 6时的最优解也是非常显

    调和级数是指无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，即取遍所有正整数n所得到的Σ1/n。虽然n趋于无穷时1/n趋于0，但这个无穷级数却是发散的。一个经典的证明是，把1/3和1/4都缩小到1/4，把1/5、1/6、1/7和1/8都缩小成1/8，把1/9到1/16这8个数全部缩小为1/16，以此类推，这样就可以得到无穷多个1/2，它们的和显然是无穷大的。  

    考虑这样一个双人对弈游戏：在一个8x8的方阵里分别填上1-64这64个正整数。然后A和B两个人轮流在格子中取数，A先取，B后取。取数的规则很简单：取过的数不能够再取，并且除了第一次以外，以后每次取的数必须与某个已经取过的格子相邻。所有数都取完后，所取数之和最大的人获胜。    很显然，这个游戏对于A更有利一些。我们可以轻易构造一个初始状态，使得先取的人必胜。考虑A的这样一个策

       给定一个大圆C，里面的六个小圆均内切于圆C。如果这六个小圆中每相邻两个小圆均外切，则连接相对的内切点所成的三条线段共点。    这是一个非常漂亮的结论。它的证明比较复杂。如果你能独立想出来的话，你就牛B了。大家不妨来挑战一下。           Stanley Rabinowitz于1975给出了一个简单的初等证明。证明的关键在于下面的这个引理：圆周上有A、B、C、D

    你认为是否有可能存在这样一个函数f：在平面上随便画一个圆，圆里面总能够找到函数图像上的一个点？继续看下去前，不妨先仔细思考一下。    为了说明任一圆内都包含函数上的点，我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y)，对于任意小的d都能在函数上找到一点，使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话，任意给出一个圆后，我都能保证圆的内接正方形里有点。    我们构