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🔥 内容介绍
在流体力学数值仿真领域，盖板驱动腔体流动是研究粘性流体流动特性、验证数值算法可靠性的经典基准问题。其几何模型为封闭矩形腔体，上盖板以恒定速度沿水平方向运动，腔体内填充粘性不可压缩流体（如空气、水），在盖板粘性拖拽作用下，腔体内流体形成复杂的回流和漩涡结构。这一流动现象广泛存在于机械润滑、电子设备散热、化工反应器混合等工程场景中，例如滑动轴承的间隙流动、CPU散热器的腔体气流运动等。
盖板驱动腔体流动的核心数值挑战在于“压力-速度耦合”。对于不可压缩流体，连续性方程（质量守恒）中不直接包含压力项，而动量方程（动量守恒）中却包含压力梯度项，这种方程间的耦合关系导致压力和速度无法单独求解。传统的分离式求解方法若直接应用，易出现收敛困难、结果失真等问题，例如计算得到的速度场无法满足连续性方程，或压力场出现非物理振荡。
为解决这一耦合难题，科学家提出了一系列压力修正算法，其中由Patankar和Spalding于1972年提出的SIMPLE算法（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，压力耦合方程的半隐式方法）凭借其原理简洁、稳定性强、适用性广的优势，成为求解不可压缩流体流动的主流算法。将SIMPLE算法应用于盖板驱动腔体的压力-速度耦合求解，不仅能精准捕捉流场的漩涡结构和参数分布，还能为工程实际中的类似流动问题提供可靠的数值仿真方法参考。
核心原理解析：SIMPLE算法如何破解耦合难题？
不可压缩流体的控制方程与耦合本质
盖板驱动腔体流动属于二维不可压缩粘性流动，其流动特性遵循纳维-斯托克斯方程（N-S方程）和连续性方程，这是压力-速度耦合的数学基础：
1. 连续性方程（质量守恒）：∂u/∂x + ∂v/∂y = 0，其中u、v分别为x、y方向的速度分量。该方程仅约束速度场的空间分布，未直接包含压力项，无法单独确定压力。
2. 动量方程（动量守恒）：在x方向，ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)；在y方向，ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y) = -∂p/∂y + μ(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²)。其中ρ为流体密度，p为压力，μ为动力粘度，t为时间。动量方程中，压力梯度项（-∂p/∂x、-∂p/∂y）是驱动流体运动的关键力源，直接影响速度分布，但压力本身又依赖于速度场的变化，形成“速度依赖压力、压力影响速度”的耦合循环。
压力-速度耦合的本质是：连续性方程和动量方程相互约束，必须同时求解才能得到符合物理规律的流场。SIMPLE算法的核心思路是“分离求解+压力修正”，通过迭代过程逐步逼近压力和速度的真实解，打破耦合循环。
SIMPLE算法的核心步骤：迭代修正与收敛
SIMPLE算法采用分离式求解策略，将耦合的N-S方程和连续性方程拆解为单个方程依次求解，再通过压力修正方程和速度修正方程实现两者的耦合协调，核心迭代步骤如下：
1. 初始化流场：设定初始压力场p⁰和初始速度场(u⁰, v⁰)，初始值可根据物理直觉设定（如压力均匀分布、速度为0，除运动盖板外），为迭代求解提供起点。
2. 求解动量方程：基于当前压力场pⁿ（第n次迭代的压力），求解动量方程，得到速度的中间值(u*, v*)。此时由于压力场并非真实解，中间速度场(u*, v*)通常不满足连续性方程，需要进一步修正。
3. 构建并求解压力修正方程：以连续性方程为约束，推导压力修正值p'的方程，求解得到p'。压力修正方程的核心思想是：通过修正压力来调整速度，使修正后的速度场满足连续性方程。推导过程中，SIMPLE算法采用“半隐式”处理方式，忽略部分次要项，简化方程求解难度，同时保证收敛稳定性。
4. 修正压力和速度：利用求解得到的压力修正值p'，更新压力场：pⁿ⁺¹ = pⁿ + α_p p'（α_p为压力松弛因子，用于调节收敛稳定性）；同时修正速度场，得到满足连续性方程的速度(uⁿ⁺¹, vⁿ⁺¹)：uⁿ⁺¹ = u* + α_u u'，vⁿ⁺¹ = v* + α_v v'（α_u、α_v为速度松弛因子，u'、v'为速度修正值，由压力修正值推导得到）。
5. 迭代收敛判断：计算当前迭代步的残差（如动量方程残差、连续性方程残差），若残差小于预设阈值（如10⁻⁶），或流场参数（压力、速度）的变化量小于阈值，则认为迭代收敛，得到最终的压力场和速度场；否则返回步骤2，进入下一轮迭代。
需要注意的是，SIMPLE算法中的松弛因子（α_p、α_u、α_v）对收敛速度和稳定性至关重要。合理的松弛因子能避免迭代过程中出现振荡，加快收敛；若取值不当，可能导致迭代发散或收敛缓慢。通常压力松弛因子α_p取0.2~0.5，速度松弛因子α_u、α_v取0.5~0.8。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
% calculate flow strength
Fw = rho * ((u_vel(1:end-2, 2:end-1)+u_vel(2:end-1, 2:end-1))/2) .* delta_y;
Fw(1, :) = rho * u_vel(1, 2:end-1) .* delta_y(1, :);
Fe = rho * ((u_vel(2:end-1, 2:end-1)+u_vel(3:end, 2:end-1))/2) .* delta_y;
Fe(end, :) = rho * u_vel(end, 2:end-1) .* delta_y(1, :);
Fs = rho * ((v_vel(2:end-2, 1:end-1)+v_vel(3:end-1, 1:end-1))/2) .* delta_x;
Fs(1, :) = rho * (((v_vel(1, 1:end-1)+v_vel(2, 1:end-1))/2)*dx/2 + ((v_vel(2, 1:end-1)+v_vel(3, 1:end-1))/2)*dx);
Fs(end, :) = rho * (((v_vel(end-1, 1:end-1)+v_vel(end, 1:end-1))/2)*dx/2 + ((v_vel(end-2, 1:end-1)+v_vel(end-1, 1:end-1))/2)*dx);
Fn = rho * ((v_vel(2:end-2, 2:end)+v_vel(3:end-1, 2:end))/2) .* delta_x;
Fn(1, :) = rho * (((v_vel(1, 2:end)+v_vel(2, 2:end))/2)*dx/2 + ((v_vel(2, 2:end)+v_vel(3, 2:end))/2)*dx);
Fn(end, :) = rho * (((v_vel(end-1, 2:end)+v_vel(end, 2:end))/2)*dx/2 + ((v_vel(end-2, 2:end)+v_vel(end-1, 2:end))/2)*dx);
% calculate Peclet number
Pw = Fw .* Dw.^-1;
Pe = Fe .* De.^-1;
Ps = Fs .* Ds.^-1;
Pn = Fn .* Dn.^-1;
% compute coefficient arrays
Aw_u = Dw.*peclet_function(abs(Pw), "power_law") + max(Fw, 0);
Ae_u = De.*peclet_function(abs(Pe), "power_law") + max(-Fe, 0);
As_u = Ds.*peclet_function(abs(Ps), "power_law") + max(Fs, 0);
An_u = Dn.*peclet_function(abs(Pn), "power_law") + max(-Fn, 0);
Ap_u = Aw_u + Ae_u + As_u + An_u;
u_coeff = {Ap_u, Aw_u, Ae_u, As_u, An_u};
end
🔗 参考文献
Pratanu Roy, N. K. Anand, Diego Donzis, A Parallel Multigrid Finite-Volume Solver on Collocated Grid for Incompressible Navier-Stokes Equations, Numerical Heat Transfer, Par B: Fundamentals, 67(5), 2015
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2.1 bp时序、回归预测和分类
2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类
2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类
2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类
2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类
2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类
2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类
2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类
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2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类
2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测
2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类
2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类
2.14 PNN脉冲神经网络分类
2.15 模糊小波神经网络预测和分类
2.16 时序、回归预测和分类
2.17 时序、回归预测预测和分类
2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类
2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类
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