【曲线】基于Farouki算法计算空间PH曲线附Matlab代码

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🔥 内容介绍

一、技术背景与空间 PH 曲线核心价值

空间 PH 曲线（Spatial Pythagorean Hodograph Curve）作为 “多项式参数曲线” 的特殊类型，其核心特性是导数的模长平方为多项式函数，这一特性使其在需要 “精准弧长计算、恒定速度跟踪、可控几何特性” 的工程场景（如五轴机床加工路径、无人机空间轨迹、机器人手臂运动）中具备不可替代的优势。传统空间曲线（如 B 样条、贝塞尔曲线）存在显著局限：

1. 弧长计算复杂：传统曲线的弧长需通过数值积分（如辛普森法）求解，计算精度依赖积分步长，实时场景中误差易超 5%，无法满足高精度加工的恒定进给速度需求；

1. 几何特性难控：曲率、挠率（空间曲线特有）需通过高阶导数复杂计算，且无法直接通过参数调整实现目标值，导致空间运动中易出现 “过弯冲击”（曲率突变）或 “姿态失控”（挠率异常）；

1. 工程适配性弱：传统曲线的参数化与实际运动约束（如机床最大加速度、无人机转弯半径）脱节，需大量后处理调整，适配效率低。

Farouki 算法（由 Rida T. Farouki 提出）作为构造与分析 PH 曲线的核心工具，通过复多项式表示、PH 条件代数化、几何参数显式控制三大创新，解决了空间 PH 曲线 “构造难、特性控、工程用” 的痛点。其核心价值在于：

• 弧长显式计算：利用导数模长平方的多项式特性，弧长可通过多项式积分解析求解，精度达 100%，无需数值近似；

• 几何特性可控：曲率、挠率可通过多项式系数直接关联，实现 “目标曲率 - 曲线参数” 的反向设计；

• 工程约束适配：支持起点 / 终点的位置、切线、曲率、挠率多约束构造，直接匹配机械运动的边界条件。

二、核心理论基础：空间 PH 曲线与 Farouki 算法原理

（一）空间 PH 曲线的数学定义与核心特性

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

% Generated on: 190810

% Last modification: 190812

% Author: Suwon Lee from Seoul National University

classdef paintPH < handle

  properties

    spacePHobj

    figureNumber = 1;

  end

  methods

    function obj = paintPH(spacePHobj,figureNumber)

      obj.spacePHobj    = spacePHobj;

      obj.figureNumber  = figureNumber;

    end

    function set.spacePHobj(obj,value)

      obj.spacePHobj = value;

    end

    function fig = visualize(obj)

      fig = figure(obj.figureNumber);

      xi  = linspace(0,1,100);

      r   = obj.spacePHobj.curve(xi);

      CP  = obj.spacePHobj.controlPoints;

      p_i = obj.spacePHobj.initialPosition;

      p_f = obj.spacePHobj.finalPosition;

      t_i = obj.spacePHobj.initialUnitTangent;

      t_f = obj.spacePHobj.finalUnitTangent;

      plot3(r(:,1),r(:,2),r(:,3),'linewidth',2,'color','b');

      hold on;

      plot3(CP(:,1),CP(:,2),CP(:,3),'--o','color','k');

      quiver3(p_i(1),p_i(2),p_i(3),t_i(1),t_i(2),t_i(3),'color','r','autoscalefactor',0.2,'linewidth',1,'maxheadsize',0.5);

      quiver3(p_f(1),p_f(2),p_f(3),t_f(1),t_f(2),t_f(3),'color','r','autoscalefactor',0.2,'linewidth',1,'maxheadsize',0.5);

      scatter3(p_i(1),p_i(2),p_i(3),'markeredgecolor','k','marker','s','sizedata',200);

      scatter3(p_f(1),p_f(2),p_f(3),'markeredgecolor','k','marker','d','sizedata',200);

      % grid on; box on;

      axis equal;

      xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

    end

  end

end

🔗 参考文献

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