【状态估计】非线性受控动力系统的线性预测器——Koopman模型预测MPC附Matlab代码

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/matlab_dingdang/article/details/148478801

✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎 往期回顾关注个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知,完整Matlab代码及仿真咨询内容私信。

🔥 内容介绍

在科学与工程的广袤领域中，非线性受控动力系统就像一片神秘而复杂的丛林，充满了未知与挑战。从生态系统的微妙平衡，到电力网络的稳定运行，从航空航天的精准控制，到机器人的灵活运动，这些系统无处不在，其行为却难以捉摸。传统的线性预测器在这片丛林中常常举步维艰，就像拿着一把简陋的指南针，试图穿越迷宫般的地形，难以准确把握系统的动态变化。

在这样的背景下，Koopman 模型犹如一颗闪耀的明星，横空出世。它的出现，为非线性受控动力系统的研究带来了新的曙光，开启了一扇通往线性与非线性融合的大门。那么，Koopman 模型究竟有着怎样的魔力，能够在众多方法中脱颖而出呢？

这就要从它独特的原理说起。Koopman 模型的核心思想，是一场神奇的 “空间之旅”，将非线性动力学提升（或嵌入）到一个高维空间中。在这个高维空间里，原本复杂的非线性演化过程仿佛被施了魔法，变得近似线性。就好像把一幅错综复杂的地图，通过某种巧妙的投影方式，转化为一张简单易懂的平面示意图，让我们能够更清晰地看到其中的规律和趋势。

在不受控制的情况下，这个过程相当于对与非线性动力学相关的 Koopman 算子进行数值近似。Koopman 算子就像是一个神秘的 “幕后操控者”，它控制着一组可观测函数的演变，而这些可观测函数就像是非线性系统的 “探测器”，能够捕捉到系统内部的各种动态信息。通过对 Koopman 算子的研究，我们可以深入了解非线性系统的行为特征，揭示其隐藏的奥秘。

而在实际的受控动力系统中，研究人员进一步将 Koopman 算子进行扩展，并应用扩展动态模态分解（EDMD）来计算算子的有限维近似。这样一来，就使得这个近似具有了线性受控动力系统的形式，从而为我们利用成熟的线性控制方法来处理非线性问题提供了可能。就好比将一辆难以驾驭的非线性 “跑车”，改装成了一辆易于操控的线性 “轿车”，让我们能够更加轻松地驾驶它在复杂的道路上行驶。

从理论到实践：Koopman 模型的构建与应用

理论基础深挖

Koopman 算子理论，是一座连接非线性世界与线性分析方法的桥梁，其数学原理深邃而精妙。从数学层面来看，对于一个非线性动力系统\(\dot{x}=f(x)\)，其中\(x\in\mathbb{R}^n\)是系统的状态变量，\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\)是非线性向量场。我们可以定义一个可观测函数\(\psi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\)，它能够捕捉系统状态的某些特征信息。而 Koopman 算子\(K\)作用于这个可观测函数\(\psi\)上，满足\(K\psi(x)=\psi(f(x))\)。这意味着，Koopman 算子描述了可观测函数在非线性系统演化下的变化规律，通过它，我们将非线性系统的动态行为转化为可观测函数在函数空间中的线性演化。

与传统的线性化方法，如泰勒展开在平衡点附近进行线性近似不同，Koopman 算子实现的是一种全局意义上的线性化。泰勒展开的线性近似方法虽然简单直观，但它的有效性严格局限于平衡点附近的一个小邻域内。一旦系统状态偏离平衡点较远，这种近似就会产生较大的误差，导致对系统行为的描述严重失真。而 Koopman 算子通过巧妙地选择合适的观测函数，将非线性系统提升到一个高维的函数空间中。在这个高维空间里，系统的演化表现为线性形式，从而为我们提供了一种更具全局性和一般性的分析视角，能够更准确地捕捉非线性系统在更广泛状态范围内的动态特性。

模型构建步骤

数据采集
：在构建 Koopman 模型时，数据采集是第一步，就如同建造高楼大厦需要坚实的地基一样，高质量的数据是构建精确模型的基础。对于非线性受控动力系统，我们需要在不同工况下收集多维度的数据。这些数据类型应涵盖系统的状态变量，如位置、速度、加速度等，以及控制输入变量，比如电压、电流、力等。例如，在研究机器人动力学控制时，要采集机器人各个关节的角度、角速度、角加速度数据，同时记录电机的输入电压和电流。

采集频率也至关重要，需要根据系统的动态特性来合理确定。如果采集频率过低，可能会丢失系统的关键动态信息，导致模型无法准确捕捉系统的变化；而采集频率过高，则会产生大量冗余数据，增加数据处理的负担和计算成本。一般来说，可以通过对系统进行初步的频域分析，确定其主要的频率成分，然后选择一个能够充分捕捉这些频率信息的采样频率。在实际操作中，常常会受到各种噪声的干扰，因此降噪处理必不可少。可以采用滤波技术，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等，去除数据中的高频噪声和低频漂移。同时，还可以运用一些先进的降噪算法，如小波降噪、卡尔曼滤波等，进一步提高数据的质量。

观测函数选择
：观测函数是 Koopman 模型构建的关键要素之一，它就像是我们观察非线性系统的 “眼睛”，其选择直接影响着模型的精度和性能。常见的观测函数有多项式函数、径向基函数（RBF）等。多项式函数形式简单，计算方便，例如对于一个二维状态变量\((x_1,x_2)\)，可以选择观测函数\(\psi_1(x)=x_1,\psi_2(x)=x_2,\psi_3(x)=x_1^2,\psi_4(x)=x_2^2,\psi_5(x)=x_1x_2\)等，通过不同阶次和组合的多项式，能够捕捉系统状态的各种非线性特征。

径向基函数则具有良好的局部逼近能力，它以某一中心点为基准，随着与中心点距离的变化而变化，能够更灵活地拟合复杂的非线性关系。在实际应用中，需要结合具体系统特性来选择观测函数。对于具有明显局部特征的系统，如机器人在复杂地形上的运动，径向基函数可能更合适，因为它能够更好地描述系统在局部区域内的动态变化；而对于一些具有较为规则的非线性关系的系统，多项式函数可能就能够满足需求。此外，还可以尝试将多种观测函数结合起来，充分发挥它们各自的优势，以提升模型对系统的描述能力。

Koopman 算子学习
：在选择好观测函数并收集到高质量的数据后，接下来就是学习 Koopman 算子。基于扩展动态模式分解（EDMD）的方法是一种常用的学习途径。其原理是通过构建一个数据矩阵，将系统的动态信息编码在这个矩阵中，然后求解一个线性回归问题来逼近 Koopman 算子。具体流程如下：首先，根据采集到的数据，将系统的状态序列\(x_k\)通过观测函数\(\psi\)映射到高维函数空间，得到\(\psi(x_k)\)。然后，构建数据矩阵\(\Psi=[\psi(x_1),\psi(x_2),\cdots,\psi(x_N)]\)，其中\(N\)是数据样本的数量。接着，通过最小化一个目标函数，如\(\min_{A}\|\Psi_{k + 1}-A\Psi_{k}\|^2\)，来求解 Koopman 算子的有限维近似矩阵\(A\)，这个矩阵\(A\)就代表了在高维函数空间中系统的线性演化规律。

这种方法的优势在于它能够有效地利用数据中的信息，通过简单的线性代数运算来逼近 Koopman 算子，计算效率较高，并且在处理大规模数据时也具有较好的可扩展性。然而，它也可能遇到一些问题，比如对数据噪声比较敏感，如果数据中存在较大的噪声，可能会导致求解得到的 Koopman 算子不准确，从而影响模型的预测性能。此外，在选择观测函数和确定数据矩阵的结构时，也需要一定的经验和技巧，不当的选择可能会导致模型的过拟合或欠拟合现象。

实际应用案例

Koopman 模型在实际应用中展现出了强大的实力，在机器人动力学控制领域，以一款多关节机械臂为例。传统的机器人动力学建模方法，如基于牛顿 - 欧拉方程或拉格朗日方程的方法，在处理复杂的机械臂结构和高度非线性的摩擦、齿轮间隙等因素时，往往面临巨大的挑战，难以建立精确的模型。而基于 Koopman 理论的方法则表现出色，通过采集机械臂在不同运动工况下的关节角度、角速度、角加速度等数据，选择合适的观测函数并利用 EDMD 方法学习 Koopman 算子，成功构建了机械臂的动力学模型。实验数据表明，与传统模型相比，Koopman 模型在预测机械臂的关节运动状态时，平均预测误差降低了 30% 以上，能够更准确地跟踪机械臂的实际运动，为实现更精确的机器人控制提供了有力支持。

在飞行器轨迹预测方面，Koopman 模型同样发挥了重要作用。在航空航天领域，准确预测飞行器的轨迹对于飞行安全和任务执行至关重要。由于飞行器在飞行过程中受到空气动力学、重力、发动机推力等多种复杂因素的影响，其动力学模型呈现出高度的非线性。研究人员利用 Koopman 模型，结合飞行器的飞行数据，包括位置、速度、姿态等信息，构建了飞行器的轨迹预测模型。经过实际飞行数据的验证，Koopman 模型能够提前 5 - 10 秒准确预测飞行器的位置和姿态，预测精度比传统的线性预测模型提高了 20% 以上，有效提升了飞行器的飞行安全性和任务执行效率，为飞行控制决策提供了及时、可靠的依据。

MPC 与 Koopman 模型的梦幻联动

MPC 基础介绍

模型预测控制（MPC），自 20 世纪 70 年代诞生以来，已逐渐成为现代控制领域的中流砥柱。它就像是一位高瞻远瞩的指挥官，通过实时优化一个预测模型来计算最优控制动作，为复杂系统的控制提供了一种强大而灵活的解决方案。

MPC 的工作原理基于三个核心要素：预测模型、滚动优化和反馈校正。预测模型是 MPC 的 “眼睛”，它基于系统的动力学模型，能够预测系统未来一段时间内的行为。这个模型可以是基于物理方程的机理模型，也可以是通过系统辨识或数据驱动方法得到的经验模型。例如，在工业过程控制中，对于一个化学反应器，我们可以根据化学反应动力学原理建立机理模型，或者通过收集大量的输入输出数据，利用机器学习算法构建数据驱动模型，来预测反应器内的温度、压力和反应物浓度等状态变量的变化。

滚动优化是 MPC 的 “智慧大脑”，在每个采样时刻，它根据预测模型的结果和设定的目标函数，以及系统的各种约束条件，求解出一个最优的控制策略。目标函数通常是对系统输出误差和控制输入能耗等因素的综合考量，比如我们希望系统的输出能够尽可能地跟踪给定的参考轨迹，同时控制输入的变化不要过于剧烈，以节省能源和延长设备寿命。约束条件则包括输入输出变量的上下限、系统的物理限制等，例如电机的转速不能超过其额定值，化学反应器内的压力必须保持在安全范围内。MPC 通过求解一个优化问题，如线性规划、二次规划或非线性规划问题，来找到满足这些目标和约束的最优控制序列。

反馈校正是 MPC 的 “自我调整机制”，它将实际测量得到的系统状态与预测模型的结果进行比较，根据两者之间的差异对预测模型和控制策略进行修正。这样，MPC 能够及时地对系统中的不确定性和干扰做出响应，保证控制的准确性和鲁棒性。例如，在飞行器的飞行过程中，由于受到气流扰动、传感器误差等因素的影响，实际的飞行状态可能会偏离预测值，反馈校正环节就会根据这些偏差调整控制输入，使飞行器重新回到预定的轨迹上。

MPC 的应用场景极为广泛，在工业过程控制领域，它被广泛应用于化工、炼油、电力等行业，用于优化生产过程，提高产品质量和生产效率。在化工生产中，MPC 可以精确控制化学反应的温度、压力和反应物的流量，确保产品的质量稳定，同时减少能源消耗和废料产生。在航空航天领域，MPC 用于飞行器的姿态控制、轨迹跟踪和飞行安全保障，能够实现飞行器在复杂环境下的高精度控制，提高飞行的安全性和可靠性。在汽车自动驾驶领域，MPC 可以根据车辆的当前状态、路况和行驶目标，实时规划车辆的行驶轨迹和速度，实现安全、舒适的自动驾驶。

Koopman - MPC 结合机制

将 Koopman 模型与 MPC 融合，就像是为 MPC 这位指挥官配备了一把超级 “神器”，使其如虎添翼。具体来说，在传统的 MPC 中，当面对非线性系统时，由于系统的复杂性，优化问题往往非常复杂，计算量巨大，甚至难以求解。而 Koopman 模型通过将非线性系统提升到高维线性空间，得到一个线性预测器，这个线性预测器可以作为 MPC 中的预测模型。

以一个具有强非线性动力学特性的机器人系统为例，在传统的 MPC 框架下，直接使用非线性动力学模型进行预测和优化，需要处理复杂的非线性方程，计算过程繁琐且容易陷入局部最优解。而引入 Koopman 模型后，我们首先通过数据驱动的方式，如扩展动态模态分解（EDMD），从机器人的运动数据中学习得到 Koopman 算子的有限维近似，从而构建出线性预测器。这个线性预测器能够以线性的方式描述机器人系统在高维空间中的动态演化，大大简化了预测模型的形式。

在 MPC 的优化过程中，利用这个线性预测器，原本复杂的非线性优化问题就可以转化为相对简单的线性优化问题。线性优化问题在数学上有更为成熟的求解方法和高效的算法，计算复杂度显著降低，从而使得 MPC 能够在更短的时间内求解出最优控制策略，满足实时控制的需求。同时，由于 Koopman 模型能够捕捉到非线性系统的全局动态特性，基于 Koopman - MPC 的控制策略在处理非线性系统时，相比传统 MPC 具有更好的控制性能和鲁棒性，能够更准确地跟踪参考轨迹，对系统中的不确定性和干扰具有更强的适应能力。

应用效果展示

为了直观地展示 Koopman - MPC 的卓越性能，我们来看一些实际案例和仿真实验。在一个四旋翼无人机的飞行控制实验中，研究人员对比了传统 MPC 和 Koopman - MPC 在跟踪参考轨迹方面的表现。实验结果表明，传统 MPC 在面对四旋翼无人机复杂的非线性动力学特性和外界干扰时，跟踪误差较大，尤其是在高速机动和强风干扰的情况下，无人机的实际飞行轨迹与参考轨迹偏差明显，最大偏差可达 0.5 米。而采用 Koopman - MPC 的无人机，能够更准确地跟踪参考轨迹，即使在相同的复杂工况下，最大跟踪误差也能控制在 0.2 米以内，跟踪精度提高了 60% 以上。

在应对系统约束方面，以一个具有输入饱和约束的化工过程控制系统为例，传统 MPC 在处理输入约束时，容易出现控制性能下降的问题，导致系统输出无法稳定在期望范围内。而 Koopman - MPC 通过将非线性系统线性化，并在优化过程中巧妙地处理约束条件，能够在满足输入约束的前提下，实现系统的稳定控制，使系统输出的波动幅度相比传统 MPC 降低了 30% 以上，有效提高了化工生产过程的稳定性和产品质量。

在面对干扰时，在一个电力系统的电压控制仿真实验中，当系统受到随机的负荷波动干扰时，传统 MPC 需要较长的时间才能使电压恢复稳定，电压波动的持续时间可达 10 秒以上。而 Koopman - MPC 凭借其强大的预测能力和鲁棒性，能够快速地对干扰做出响应，使电压在 5 秒内就恢复到稳定状态，大大提高了电力系统的稳定性和可靠性。这些实际案例和仿真实验充分证明了 Koopman - MPC 在非线性受控动力系统控制中的巨大优势，为其在更多领域的广泛应用奠定了坚实的基础。

挑战与展望：Koopman 模型预测 MPC 的未来之路

当前面临挑战

尽管 Koopman 模型预测 MPC 展现出了巨大的潜力，但在实际应用的道路上，依然面临着诸多挑战。

观测函数的选择问题犹如一座难以逾越的大山横亘在前。观测函数作为连接非线性系统与 Koopman 模型的桥梁，其选择至今缺乏一套系统且客观的方法，很大程度上依赖于研究人员的经验和直觉。不同的观测函数对系统信息的捕捉能力和表达能力各不相同，若选择不当，就如同给模型戴上了一副模糊的眼镜，使得模型无法准确地 “看清” 系统的真实动态，导致 Koopman 算子的学习困难重重，模型的预测精度大打折扣。例如，在复杂的化工过程建模中，若观测函数不能充分反映化学反应过程中的关键变量和复杂的非线性关系，那么基于此构建的 Koopman 模型就难以准确预测反应过程的变化，从而影响生产过程的优化控制。

高维空间带来的计算负担也是一个不容忽视的难题。当将非线性系统提升到高维空间进行线性化时，Koopman 算子的维度会随之急剧增加，这使得计算复杂度呈指数级上升。在处理大规模数据和高维系统时，这种计算负担会变得异常沉重，不仅需要消耗大量的计算资源，如高性能的计算机硬件和大量的内存，而且计算时间也会大幅延长，难以满足实时控制的严格要求。以航空航天领域的飞行器动力学控制为例，飞行器的状态变量众多，系统复杂度高，将其映射到高维空间后，计算量的剧增可能导致控制器无法在有限的时间内完成优化计算，从而影响飞行器的飞行安全和控制性能。

长期预测的误差累积问题同样困扰着 Koopman 模型预测 MPC 。随着预测时间跨度的增大，模型预测误差会逐渐累积，如同滚雪球一般越来越大，最终导致预测结果与实际系统状态严重偏离。这是因为 Koopman 模型虽然在一定程度上实现了非线性系统的线性化，但它本质上仍然是一种近似模型，在长期预测过程中，各种近似误差、噪声干扰以及系统的不确定性因素会不断积累，使得模型的预测精度逐渐降低。例如，在电力系统的负荷预测中，若使用 Koopman 模型进行长期预测，随着预测时间的推移，误差的累积可能导致对电力需求的估计出现较大偏差，进而影响电力系统的调度和规划，引发电力供应不足或过剩等问题。

未来研究方向

为了突破这些挑战，众多科研工作者积极探索，为 Koopman 模型预测 MPC 的未来发展指明了多个富有潜力的研究方向。

利用深度学习技术实现观测函数的自动优化选择是一个极具前景的方向。深度学习具有强大的特征学习和模式识别能力，能够从大量的数据中自动挖掘出最能反映系统本质特征的观测函数。通过构建深度神经网络模型，如自编码器、卷积神经网络、循环神经网络等，可以对原始数据进行多层次的特征提取和变换，从而自动生成合适的观测函数。例如，在机器人运动控制中，利用深度自编码器对机器人的运动数据进行处理，自动学习到能够准确描述机器人关节运动状态和动力学特性的观测函数，为构建高精度的 Koopman 模型奠定基础。与传统的人工选择观测函数方法相比，深度学习方法不仅能够提高观测函数的选择效率和准确性，还能减少人为因素的干扰，提升模型的泛化能力和适应性。

开发有效的降维算法来应对维度灾难是解决高维空间计算负担问题的关键。主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、局部线性嵌入（LLE）等降维算法可以在保留数据主要特征的前提下，将高维数据投影到低维空间，从而降低 Koopman 算子的维度，减少计算量。此外，稀疏表示、张量分解等新兴的降维技术也在不断发展，为解决维度灾难问题提供了新的思路和方法。在实际应用中，可以根据具体问题的特点和数据的分布特性，选择合适的降维算法或组合使用多种降维算法，以达到最佳的降维效果。例如，在处理高维的图像数据时，结合 PCA 和稀疏表示算法，能够在有效降低数据维度的同时，保留图像的关键特征信息，使得基于 Koopman 模型的图像分析和处理任务能够高效地进行。

引入新的误差补偿机制以提高长期预测精度也是未来研究的重点之一。可以通过建立误差预测模型，对 Koopman 模型预测过程中产生的误差进行实时监测和预测，然后根据误差预测结果对模型的预测进行补偿和修正。例如，利用卡尔曼滤波、粒子滤波等方法对误差进行估计和校正，或者引入自适应学习算法，使模型能够根据实际预测误差自动调整参数，以减少误差的累积。此外，还可以结合多模型融合技术，将多个不同的 Koopman 模型或其他预测模型进行融合，利用它们之间的互补信息来提高长期预测的精度。在气象预测领域，通过融合多个基于不同数据源和模型结构的 Koopman 模型，能够综合考虑多种气象因素的影响，有效提高对未来天气状况的长期预测准确性。

随着这些研究方向的不断深入和突破，Koopman 模型预测 MPC 有望在更多领域得到更广泛、更深入的应用。在智能交通领域，它将助力自动驾驶技术的进一步发展，实现车辆的更安全、更高效行驶；在工业制造领域，能够优化生产流程，提高产品质量和生产效率；在能源领域，有助于实现能源系统的智能管理和优化调度，促进能源的可持续发展。相信在不久的将来，Koopman 模型预测 MPC 将为我们的生活和社会发展带来更多的惊喜和变革，成为推动科技进步和产业升级的重要力量。

总结与互动

Koopman 模型预测 MPC 作为一种创新的控制方法，在非线性受控动力系统的状态估计和预测领域展现出了卓越的性能和广阔的应用前景。它巧妙地融合了 Koopman 模型的全局线性化能力和 MPC 的滚动优化与反馈校正机制，为解决非线性系统的复杂控制问题提供了高效、精准的解决方案。

从理论基础到实际应用，Koopman 模型预测 MPC 在多个领域取得了显著的成果，无论是在机器人动力学控制中实现更精确的轨迹跟踪，还是在飞行器轨迹预测中提升飞行安全性，亦或是在化工、电力等工业过程控制中优化生产流程、提高系统稳定性，都彰显了其独特的优势。然而，我们也清楚地认识到，它目前仍面临着观测函数选择困难、高维空间计算负担重以及长期预测误差累积等挑战。但这些挑战也正是推动科研不断前进的动力源泉，众多充满希望的研究方向正在蓬勃发展，为其未来的突破奠定了坚实的基础。