【TSP问题】基于21 种不同的次优方法来解决对称欧几里得 TSP 问题附Matlab代码

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🔥 内容介绍

旅行商问题 (TSP, Traveling Salesperson Problem) 作为组合优化领域中的一个经典难题，其目标是在给定一组城市及其两两之间的距离后，寻找一条访问所有城市恰好一次并返回起点的最短路径。对称欧几里得TSP问题则进一步限定了距离满足对称性（即城市i到城市j的距离等于城市j到城市i的距离）且距离满足欧几里得几何的距离计算方式。由于TSP问题是一个NP-hard问题，精确求解算法在面对大规模问题时计算复杂度呈指数级增长，因此寻找高效的次优解算法至关重要。本文将探讨21种不同的次优方法，并分析其在解决对称欧几里得TSP问题中的适用性和优缺点。

首先，我们将这些方法大致分为几类：贪婪算法、局部搜索算法、构造启发式算法、元启发式算法以及混合算法。

一、贪婪算法 (Greedy Algorithms): 这类算法的核心思想是在每一步选择局部最优解，期望最终得到一个较好的整体解。在TSP问题中，贪婪算法通常从一个城市出发，每次选择距离最近的尚未访问的城市，直到所有城市都被访问。

1. 最近邻算法 (Nearest Neighbor): 这是最简单的贪婪算法，其时间复杂度为O(n²)，但解的质量通常较差，容易陷入局部最优。

2. 最远插入算法 (Farthest Insertion): 该算法首先选择一个初始环路，然后每次选择距离现有环路最远的城市，并将其插入到环路中使得环路长度增加最小。其时间复杂度也为O(n²)。

3. 最近插入算法 (Nearest Insertion): 与最远插入算法类似，但每次选择距离现有环路最近的城市进行插入。

二、局部搜索算法 (Local Search Algorithms): 这类算法从一个初始解出发，通过迭代地进行局部改进，直到无法进一步改进为止。

1. 2-opt算法: 该算法通过交换路径中的两条边来改进解。每次交换都减少路径长度，直到没有更优的交换为止。时间复杂度为O(n⁴)。

2. 3-opt算法: 该算法通过交换路径中的三条边来改进解，比2-opt算法具有更强的搜索能力，但时间复杂度也更高，为O(n⁵)。

3. k-opt算法: 这是2-opt和3-opt算法的推广，通过交换k条边来改进解。k值越大，搜索能力越强，但时间复杂度也呈指数级增长。

4. Lin-Kernighan算法: 这是一种改进的k-opt算法，采用更有效的搜索策略，可以找到更好的局部最优解。

三、构造启发式算法 (Constructive Heuristics): 这类算法通过逐步构建解来寻找次优解。

1. Christofides算法: 这是一个基于最小生成树和完美匹配的算法，可以保证其解的长度不超过最优解长度的1.5倍。

2. 插入算法 (Insertion Heuristics): 包括随机插入、贪婪插入等多种变体，其核心思想是逐步将城市插入到已有的路径中。

3. 最近邻插入算法 (Nearest Neighbor Insertion): 每次选择距离已有的路径最近的城市进行插入。

四、元启发式算法 (Metaheuristics): 这类算法通过模拟自然现象或优化策略来引导搜索过程。

1. 模拟退火算法 (Simulated Annealing): 该算法允许以一定的概率接受劣解，从而跳出局部最优。

2. 遗传算法 (Genetic Algorithm): 该算法模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作来进化种群，寻找最优解。

3. 禁忌搜索算法 (Tabu Search): 该算法通过维护一个禁忌表来避免搜索过程陷入循环，并可以有效地逃离局部最优。

4. 蚁群算法 (Ant Colony Optimization): 该算法模拟蚂蚁觅食行为，通过信息素的积累和更新来引导搜索过程。

5. 粒子群算法 (Particle Swarm Optimization): 该算法模拟鸟群或鱼群的集体行为，通过粒子间的相互作用来寻找最优解。

五、混合算法 (Hybrid Algorithms): 这类算法结合了多种算法的优点，以期获得更好的性能。

1. 遗传算法 + 局部搜索: 将遗传算法用于全局搜索，局部搜索用于局部优化。

2. 模拟退火算法 + 2-opt: 结合模拟退火的全局搜索能力和2-opt的局部优化能力。

3. 蚁群算法 + k-opt: 结合蚁群算法的全局搜索能力和k-opt的局部优化能力。

六、其他算法:

1. 神经网络算法: 利用神经网络的学习能力来逼近TSP问题的最优解。

2. 基于学习的启发式算法: 利用机器学习技术，例如强化学习，来学习有效的启发式规则。

3. 分支定界算法 (Branch and Bound): 虽然是精确算法，但在处理规模较小的对称欧几里得TSP问题时，也能在可接受的时间内得到最优解。

结论: 上述21种方法各有优缺点，其适用性取决于问题的规模和对解的质量要求。对于小规模问题，精确算法或一些局部搜索算法可能就足够了。对于大规模问题，元启发式算法或混合算法通常更有效。选择合适的算法需要根据具体问题进行权衡，并进行实验比较。 未来的研究方向可以集中在开发更高效的混合算法以及将机器学习技术更广泛地应用于TSP问题的求解中。 此外，对算法性能的深入分析和改进也是一个重要的研究方向。 对不同算法的并行化和分布式计算的研究也具有重要的意义，以应对超大规模TSP问题的求解需求。

📣 部分代码

x hull

% Insertion criterion: nearest

% Selection criterion: nearest

clear

close all

X=rand(80,2);

n = length(X);

x = X(:,1);

y = X(:,2);

% Computing and animated drawing of the convex hull

k = convhull(x,y);

plot(x,y,'kx','MarkerSize',12,'LineWidth',2)

hold on

for i=2:length(k)

  plot([x(k(i-1)) x(k(i))],[y(k(i-1)) y(k(i))],'r','LineWidth',2)

  pause(0.2)

end

% List of the points not belonging to the polygon: kbarre

k(end) = []; % Remove the last point as it's a cycle

kbarre = 1:n; kbarre(k) = [];

% For all points in kbarre

for kb=1:length(kbarre)

   % Search the point of kbarre nearest a point of the polygon

   Xkbarre = X(kbarre,:); Xk = X(k,:);

   D = pdist2(Xkbarre,Xk,'euclidean');

   minimum = min(min(D));

   % j : index of the point in kbarre

   % i : index of the point in k

   [j,i]=find(D==minimum,1);

   num_p_close = kbarre(j);

   im1=i-1; ip1=i+1;

   % If it's the first point, the previous one is the last

   if i==1

       im1=length(k);

   end

   % If it's the last point, the next one is the first

   if i==length(k)

       ip1=1;

   end

   

   im1_i = pdist([x(k(im1))      y(k(im1))      ; x(k(i))        y(k(i))]);

   im1_j = pdist([x(k(im1))      y(k(im1))      ; x(num_p_close) y(num_p_close)]);

   i_ip1 = pdist([x(k(i))        y(k(i))        ; x(k(ip1))      y(k(ip1))]);

   j_ip1 = pdist([x(num_p_close) y(num_p_close) ; x(k(ip1))      y(k(ip1))]);

   i_j   = pdist([x(k(i))        y(k(i))        ; x(num_p_close) y(num_p_close)]);

  

   l1 = im1_i + i_j + j_ip1; % segment i-1 ; i ; j ; i+1

   l2 = im1_j + i_j + i_ip1; % segment i-1 ; j ; i ; i+1

   if l1 > l2

          % Erasure of the edge i-1; i and point vizualisation

          plot([x(k(im1)) x(k(i))],[y(k(im1)) y(k(i))],'w','LineWidth',2)

          plot(x,y,'kx','MarkerSize',12,'LineWidth',2)

          k = [k(1:i-1); num_p_close ; k(i:end)];

   else

          % Erasure of the edge i ; i+1 and point vizualisation

          plot([x(k(i)) x(k(ip1))],[y(k(i)) y(k(ip1))],'w','LineWidth',2)

          plot(x,y,'kx','MarkerSize',12,'LineWidth',2)

          k = [k(1:i); num_p_close ; k(i+1:end)];

   end

   

   % Update of the list of points to be treated

   kbarre(j) = [];

   % Closing of the polygon for length calculus and plot

   p = [k ; k(1)];

   plot(x(p),y(p),'r','LineWidth',2)

   % Add title

   L = sum(sqrt(diff(x(p)).^2 + diff(y(p)).^2));

   str = sprintf('Tour Length: %g',L);

   title(str)

   pause(0.2)

end

⛳️ 运行结果

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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌈电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电

🌈 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌈 雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别

🌈 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

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