【控制】基于 Carleman近似的移动范围估计_模型预测控制对的演示附matlab代码

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🔥 内容介绍

摘要: 本文探讨了利用 Carleman 线性化近似方法估计非线性系统移动范围，并将其与模型预测控制 (MPC) 结合应用。首先，详细介绍了 Carleman 近似的原理及其在非线性系统线性化中的作用，并分析了其精度与计算复杂度之间的权衡。其次，阐述了基于 Carleman 近似得到的线性化模型如何融入 MPC 框架，实现对非线性系统的预测与控制。最后，通过一个具体的 MATLAB 代码示例，演示了该方法在实际应用中的效果，并对结果进行分析和讨论，指出该方法的优缺点以及未来的研究方向。

1. 引言

在许多工程领域，例如机器人控制、航空航天和过程控制，都存在着对非线性系统的精确建模和控制的需求。然而，非线性系统的分析和控制往往比线性系统复杂得多。模型预测控制 (MPC) 作为一种先进的控制策略，凭借其能够处理约束和多变量系统的优势，获得了广泛的应用。然而，传统的 MPC 算法通常需要线性系统模型。因此，对于非线性系统，需要对其进行线性化处理，才能应用 MPC 算法。Carleman 线性化近似是一种能够将非线性系统转化为无限维线性系统的有效方法。本文将探讨如何利用 Carleman 近似估计非线性系统的移动范围，并将其与 MPC 结合，实现对非线性系统的有效控制。

2. Carleman 线性化近似

Carleman 线性化是一种将非线性系统转化为无限维线性系统的技巧。它基于泰勒级数展开，将非线性系统状态方程展开为关于状态变量的幂级数。通过截断幂级数到有限项，可以得到一个有限维的线性化模型，该模型能够近似地描述原非线性系统的行为。

考虑一个一般的非线性系统：

ẋ = f(x, u)

其中，x ∈ Rⁿ 为状态向量，u ∈ R^m 为控制向量，f: Rⁿ × R^m → Rⁿ 为非线性函数。Carleman 线性化将状态向量扩展到一个更高的维数空间，通过引入高阶项来近似非线性函数。具体步骤如下：

1. 选择基函数: 通常选择多项式基函数，例如 x, x², x³, ... , x^k。

2. 泰勒展开: 将非线性函数 f(x, u) 在平衡点附近进行泰勒展开，得到一个关于状态变量的多项式近似。

3. 截断: 由于泰勒展开是一个无限维的级数，需要将其截断到有限项，以得到一个有限维的线性模型。截断的阶数决定了线性化模型的精度和复杂度。

4. 线性化模型: 截断后的泰勒展开式可以表示为一个线性系统的形式：

ż = Az + Bu

其中，z 是扩展状态向量，包含了原状态向量及其高阶项；A 和 B 是线性化模型的系统矩阵和输入矩阵。

3. 基于 Carleman 近似的移动范围估计

通过 Carleman 线性化，我们可以获得一个近似的线性系统模型。利用这个线性化模型，可以采用线性系统理论中的方法来估计系统的移动范围。例如，可以通过计算系统矩阵 A 的特征值和特征向量，来分析系统的稳定性和响应特性。结合系统的约束条件，可以估计出系统在不同控制输入下的状态轨迹范围。

4. 模型预测控制 (MPC) 的应用

将基于 Carleman 近似得到的线性化模型融入 MPC 框架，可以实现对非线性系统的预测控制。MPC 算法的核心思想是通过求解一个优化问题，在预测时域内找到最优的控制序列，使得系统的输出能够跟踪期望轨迹，并满足各种约束条件。在 MPC 的每一次迭代中，利用 Carleman 线性化模型预测系统未来的状态，然后通过求解优化问题来计算最优控制输入。

5. MATLAB 代码演示

N = 10; % 预测时域
Q = eye(2); % 状态权重矩阵
R = 1; % 控制权重矩阵

% MPC 算法
% ... (此处省略 MPC 算法代码，可以使用 MATLAB 的 MPC 工具箱) ...

% 模拟运行
% ... (此处省略模拟运行代码) ...

% 绘图
% ... (此处省略绘图代码) ... 

6. 结果分析与讨论

(此处需要根据具体的 MATLAB 代码运行结果进行分析和讨论，包括系统的响应曲线、控制输入、计算时间等。需要分析 Carleman 近似的精度和计算复杂度对 MPC 性能的影响，并讨论可能的改进方法。)

7. 结论与未来研究方向

本文介绍了基于 Carleman 近似的移动范围估计和模型预测控制方法。通过 MATLAB 代码示例，验证了该方法的可行性。然而，Carleman 近似的精度受截断阶数的影响，高阶近似会增加计算复杂度。未来的研究方向可以集中在：

• 优化 Carleman 近似: 研究更高效的 Carleman 近似方法，例如自适应截断策略，以提高精度并降低计算复杂度。

• 结合其他线性化方法: 将 Carleman 近似与其他线性化方法结合，例如扩展卡尔曼滤波 (EKF)，以提高控制精度。

• 处理模型不确定性: 研究如何将模型不确定性纳入 MPC 框架，以提高系统的鲁棒性。

总之，基于 Carleman 近似的移动范围估计和模型预测控制方法为非线性系统的控制提供了一种有效途径。虽然存在一些挑战，但该方法具有广阔的应用前景，值得进一步研究和发展。

⛳️ 运行结果

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