26、深入探索Koopman算子理论：原理、应用与挑战

深入探索Koopman算子理论：原理、应用与挑战

1. 引言

在动力系统的研究领域中，Koopman算子理论作为一种新兴的视角，为我们理解和分析非线性动力系统提供了全新的途径。传统上，非线性系统的研究面临诸多挑战，而Koopman算子理论通过将非线性系统转化为无限维线性算子的形式，为解决这些问题带来了新的希望。

2. Koopman算子理论基础

2.1 基本概念

Koopman算子理论主要关注状态测量函数 $g(x)$ 的演化。在1931年，Bernard O. Koopman证明了可以用一个作用于系统状态测量函数的无限维线性算子来表示非线性动力系统。这个所谓的Koopman算子 $K_t$ 是线性的，其谱分解能够完全刻画非线性系统的行为。

2.2 数学表述

• 离散时间系统 ：对于离散时间系统，时间步长为 $\Delta t$，Koopman算子 $K_{\Delta t}$ 对测量函数 $g(x_k)$ 的作用为 $K_{\Delta t}g(x_k) = g(F_{\Delta t}(x_k)) = g(x_{k + 1})$，即 $g(x_{k + 1}) = K_{\Delta t}g(x_k)$。
• 连续时间系统 ：对于足够光滑的动力系统，也可以定义连续时间的Koopman动力系统，即 $\frac{d}{dt}g = Kg$，其中 $K$ 是 $K_t$ 的无穷小生成元，定义为 $Kg = \lim_{t \to 0} \frac{K_tg - g}{t} = \lim_{t \to 0}