<think>我们被要求设计一个基于Zernike多项式的三焦点自由曲面，且焦点位于Z轴上。这意味着我们需要利用Zernike多项式来构建一个光学表面（如透镜或反射镜），使得该表面能够将入射光聚焦到三个不同的焦点位置，且这些焦点都位于光轴（Z轴）上。Zernike多项式通常用于描述圆形孔径上的像差，但也可以用于构建自由曲面。然而，标准的Zernike多项式是在单位圆上定义的，而我们的设计目标是一个旋转对称的自由曲面（因为焦点在Z轴上，所以曲面应该是旋转对称的）。但是，三焦点设计通常需要非旋转对称的曲面，因为要控制光线在三个不同的焦点上聚焦。然而，题目要求焦点在Z轴上，这意味着三个焦点都在光轴上，因此我们可能需要一个旋转对称的曲面（因为光轴是旋转对称轴）。但是，旋转对称的曲面通常只能产生一个焦点（或一系列共焦的点），所以我们需要仔细考虑设计方法。
实际上，三个焦点都在Z轴上，这意味着它们沿着光轴分布（例如，在z=z1,z=z2, z=z3三个位置）。这种设计可以通过一个旋转对称的曲面来实现，因为旋转对称的曲面可以具有多个焦点在光轴上（例如，双曲面就有两个焦点）。因此，我们可以使用旋转对称的Zernike多项式（即只包含径向项，不含角向项）来设计。Zernike多项式的一般形式为：
$$Z_n^m(\rho,\theta) =R_n^m(\rho) \cos(m\theta)\quad\text{或} \quad Z_n^{-m}(\rho,\theta) =R_n^m(\rho) \sin(m\theta)$$
其中，$n$和$m$是整数，且$n\geq |m|$，$n-|m|$为偶数。径向多项式$R_n^m(\rho)$定义为：$$ R_n^m(\rho)= \sum_{k=0}^{(n-|m|)/2}\frac{(-1)^k (n-k)!}{k!\left(\frac{n+|m|}{2}- k\right)! \left(\frac{n-|m|}{2} -k \right)!} \rho^{n-2k} $$由于我们要求旋转对称（即与$\theta$无关），所以只能使用$m=0$的项。因此，我们使用的Zernike多项式为：$$ Z_n^0(\rho)= R_n^0(\rho)$$
这样，自由曲面的矢高（sag）可以表示为：$$ z(\rho) =\sum_{n=0}^{N} c_n R_n^0(\rho)$$
其中，$c_n$是系数，$N$是多项式的最大阶数。
但是，这样的旋转对称曲面只能产生一个焦点吗？实际上，它可以通过设计产生多个焦点。例如，我们可以通过设计一个非球面（它是旋转对称的）来将光线聚焦到光轴上的不同点。然而，一个单一的非球面通常只能对一个物距进行完美成像（即只有一个焦点）。为了在光轴上产生三个焦点，我们需要设计一个特殊的相位面或衍射光学元件（DOE），或者使用自由曲面设计方法，但通常需要非旋转对称的曲面。然而，题目要求焦点在Z轴上，且使用Zernike多项式，这提示我们可能使用旋转对称的Zernike项（即$m=0$）来构建一个旋转对称的曲面，然后通过优化系数$c_n$使得该曲面具有三个焦点。
但是，旋转对称的曲面如何产生三个焦点？实际上，我们可以设计一个多焦点衍射透镜（MultifocalDiffractiveLens），它通过周期性结构产生多个焦点。然而，这种透镜通常不是光滑的曲面，而是有台阶的结构。但题目要求使用自由曲面（光滑曲面），所以我们可以考虑使用连续变化的相位（即光滑曲面）来实现多个焦点。这可以通过优化一个旋转对称的曲面，使得它对于不同波长的光（或者对于同一波长的光，通过不同的环带）具有不同的焦距。但是，题目没有提到波长，所以我们假设是单色光。另一种方法是设计一个具有长焦移特性的曲面，即焦点随着入射高度变化而沿光轴移动。这样，不同环带的光线聚焦到光轴上的不同位置。这可以通过一个旋转对称的非球面实现。例如，我们可以设计一个曲面，使得中心区域（小孔径）聚焦到远点，中间环带聚焦到中间点，边缘环带聚焦到近点（或者反之）。这样，整个透镜就将光线分配到三个焦点上。因此，我们的设计思路是：构建一个旋转对称的自由曲面，其矢高由Zernike多项式（径向项）表示，然后通过优化系数$c_n$，使得该曲面将平行入射光（假设是准直光束）分成三个部分，分别聚焦到光轴上的三个不同位置。具体步骤：1.定义自由曲面的矢高函数：$z(\rho) =\sum_{k=0}^{K} c_k R_{2k}^0(\rho)$，其中$n=2k$是因为$n$必须为偶数（因为$m=0$，所以$n$为偶数）。注意：$R_n^0$中$n$为偶数，因为$n-|m|$为偶数。
2.光线追迹：从物方（假设为无穷远，平行光入射）出发，经过曲面折射后，计算光线与Z轴的交点（即焦点）。我们需要优化系数$c_k$，使得这些焦点集中在三个指定的位置（例如，z1,z2, z3）附近。3.优化目标：定义一个评价函数（merit function），它衡量实际焦点位置与目标焦点位置（三个）的差异。例如，我们可以将光线按照入射高度（即$\rho$）分成三组（中心、中间、边缘），每一组的光线应该分别聚焦到z1,z2, z3。然后，计算每一组光线的焦点位置与目标位置的方差，并最小化这个方差。
4.使用MATLAB的优化工具箱（如`fmincon`或`lsqnonlin`）进行优化。然而，这种方法需要大量的光线追迹计算，并且优化问题可能非凸，需要良好的初始值。
另一种思路：利用衍射光学原理，设计一个三焦点衍射透镜的连续相位近似。三焦点衍射透镜的相位函数通常设计为：$$ \phi(\rho)= \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{\rho^2}{2f_0} +\alpha\cos\left(\beta \rho^2\right) \right)$$
其中，$f_0$是主焦距，$\alpha$和$\beta$是参数，用于产生另外两个焦点。但是，这种相位函数对应的曲面可能无法直接用Zernike多项式表示。我们可以将相位函数转换为矢高，然后使用Zernike多项式拟合该矢高。但是，题目要求使用Zernike多项式直接设计，所以我们需要将Zernike多项式的系数作为变量进行优化，以达到三焦点的效果。
因此，我们选择第一种思路：直接优化Zernike系数，使得光线聚焦到三个目标点。
具体实现步骤（MATLAB代码框架）：1.定义Zernike径向多项式函数（用于计算$R_n^0(\rho)$）。
2.定义矢高函数：输入参数为$\rho$（归一化半径，0到1）和系数向量$c$（对应不同阶数的系数）。3.定义光线追迹函数：输入为入射光线（平行于Z轴，高度为h），通过曲面折射后，计算与Z轴的交点。折射定律使用Snell定律。
4.定义目标焦点位置：z1, z2,z3（在Z轴上，假设z1<z2<z3，且均为负值，因为焦点在像方）。
5.定义评价函数：选择一组入射高度（例如，h1,h2, ...,hM），对每个高度进行光线追迹，得到焦点位置z_focus(h)。然后，将这些焦点位置与三个目标焦点位置进行比较。但是，我们需要将入射高度分成三组，每组对应一个目标焦点。分组方法：将入射高度范围[0, R]（R为最大半径）分成三个区间：[0, R1],[R1,R2], [R2, R]。然后，对于每个区间内的入射高度，我们希望它们聚焦到对应的目标焦点（例如，[0,R1]对应z1，[R1,R2]对应z2，[R2,R]对应z3）。评价函数可以取为：$$F(c) =\sum_{i=1}^{M}w_i\left( z_{\text{focus}}(h_i) -T(h_i)\right)^2$$其中，$T(h_i)$是根据$h_i$所在区间指定的目标焦点位置（z1,z2或z3），$w_i$是权重（可以取1，或者根据区间的重要性调整）。
6.优化：使用非线性最小二乘函数（如`lsqnonlin`）最小化评价函数。注意：光线追迹需要知道曲面在点$(\rho, \theta)$处的法向量。由于曲面是旋转对称的，法向量可以通过对矢高函数求导得到。矢高函数：$z(\rho) =\sum_kc_kR_k(\rho)$，其中$R_k(\rho)$是径向多项式，$\rho= \sqrt{x^2+y^2}/R_{\text{max}}$（归一化半径）。曲面上的一点：$(x,y,z(\rho))$。法向量计算：曲面的梯度。$$ \nabla z= \left(\frac{\partialz}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partialy}\right) =\left( \frac{dz}{d\rho} \cdot \frac{\partial \rho}{\partial x}, \frac{dz}{d\rho} \cdot \frac{\partial \rho}{\partial y} \right)$$
其中，$\frac{\partial \rho}{\partial x} =\frac{x}{\rho R_{\text{max}}^2}$，$\frac{\partial \rho}{\partial y} =\frac{y}{\rho R_{\text{max}}^2}$（注意：$\rho =\sqrt{x^2+y^2}/R_{\text{max}}$，所以$\frac{\partial \rho}{\partial x} =\frac{x}{R_{\text{max}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}} =\frac{x}{R_{\text{max}}\cdot \frac{1}{\rho R_{\text{max}}} =\frac{x}{\rho R_{\text{max}}^2}$）。
因此，$$ \frac{\partial z}{\partialx}= \frac{dz}{d\rho} \cdot \frac{x}{\rhoR_{\text{max}}^2} $$$$ \frac{\partial z}{\partialy}= \frac{dz}{d\rho} \cdot \frac{y}{\rhoR_{\text{max}}^2} $$法向量（单位法向量）为：$$ \mathbf{N} =\frac{ \left(-\frac{\partialz}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partialy},1\right) }{\sqrt{ \left(\frac{\partial z}{\partialx}\right)^2 +\left(\frac{\partialz}{\partial y}\right)^2+1 }} $$然后，使用Snell定律进行折射。假设入射光线为$\mathbf{L}_{\text{in}}= (0,0,1)$（平行光沿Z轴负方向？注意：通常我们定义光线从物方到像方，所以入射方向为Z轴负方向，但这里我们定义曲面在Z=0平面，曲面法线方向向上（指向物方），所以入射光线方向为(0,0,-1)可能更合适。需要统一坐标系。我们定义：
-曲面位于XY平面，矢高z沿Z轴正方向增加。-光线从上方（物方）入射，方向为(0,0,-1)（平行光）。
-折射后光线进入透镜材料（假设折射率为n），然后从透镜下方出射到空气（或另一种介质）？实际上，对于单界面，我们通常考虑从空气到材料的折射。但这里我们设计的是单表面，假设另一面是平面（或忽略），所以只考虑这个自由曲面的折射。
折射公式：$$ \mathbf{L}_{\text{out}} =\mu \mathbf{L}_{\text{in}} +\left( \sqrt{1+\mu^2(\mathbf{L}_{\text{in}}\cdot\mathbf{N})^2 -\mu^2} -\mu(\mathbf{L}_{\text{in}}\cdot\mathbf{N})\right) \mathbf{N} $$其中，$\mu= n_{\text{incident}}/ n_{\text{transmitted}}$。这里，假设入射介质为空气（n1=1），透镜材料折射率为n2，则$\mu =1/n2$。更常用的是向量形式的Snell定律：
$$n_1 (\mathbf{L}_{\text{in}} \times \mathbf{N}) =n_2 (\mathbf{L}_{\text{out}} \times \mathbf{N}) $$可以推导出：
$$\mathbf{L}_{\text{out}}= \frac{n_1}{n_2} \mathbf{L}_{\text{in}} +\left( \sqrt{1 -\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 \|\mathbf{L}_{\text{in}} \times \mathbf{N}\|^2} -\frac{n_1}{n_2}(\mathbf{L}_{\text{in}}\cdot\mathbf{N})\right) \mathbf{N} $$但通常我们使用以下形式：
设$\mathbf{L}_{\text{out}}= \frac{n_1}{n_2} \mathbf{L}_{\text{in}} +\gamma\mathbf{N}$，其中$\gamma$由下式确定：
$$\gamma= \frac{n_1}{n_2} \cos\theta_i -\cos\theta_t$$
而$\cos\theta_i= -\mathbf{L}_{\text{in}} \cdot \mathbf{N}$（因为光线方向指向曲面，而法向量指向物方，所以点积为负，因此取负号使得$\cos\theta_i$为正），$\cos\theta_t =\sqrt{1- \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2\theta_i}$。因此，折射后的光线方向为：$$ \mathbf{L}_{\text{out}} =\frac{n_1}{n_2}\mathbf{L}_{\text{in}}+ \left[\frac{n_1}{n_2}\cos\theta_i- \sqrt{1 -\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 \sin^2\theta_i}\right] \mathbf{N} $$其中，$\cos\theta_i= -\mathbf{L}_{\text{in}} \cdot \mathbf{N}$，$\sin^2\theta_i=1 -\cos^2\theta_i$。然后，折射光线的参数方程：从曲面上的点$(x,y,z(\rho))$出发，方向为$\mathbf{L}_{\text{out}}$，与Z轴（即直线x=0,y=0）的交点。求交点：设参数t，则光线上的点为：$$ \mathbf{P}(t)= (x,y,z)+ t\mathbf{L}_{\text{out}}$$
令$\mathbf{P}(t)$的x和y分量为0，即：
$$x +t L_{x} =0$$
$$y +t L_{y} =0$$
由这两个方程可以解出t（注意，如果$L_x$和$L_y$不同时为0，则可以选择其中一个方程求解，但需要验证另一个方程是否满足。实际上，由于旋转对称，我们只需考虑一个截面（如y=0平面）上的光线，即可以简化计算。但为了通用性，我们同时解两个方程。由第一个方程：$t= -x /L_x$（如果$L_x\neq0$），代入第二个方程：$y -(x/ L_x)L_y=0$。因此，当$yL_x -x L_y =0$时，有解。在旋转对称系统中，对于入射点(x,0)（即y=0）的光线，由于对称性，折射后光线在x-z平面内，所以$L_y=0$，则第二个方程自然满足。所以我们可以只考虑xz平面内的光线（即y=0，入射高度为x，注意$\rho =|x|/R_{\text{max}}$）。
因此，我们只需考虑xz平面内的光线。此时，折射光线方向为$(L_x,0, L_z)$，则与Z轴的交点：令x+tL_x=0，所以t=-x/L_x，则交点z坐标为：
$$z_{\text{focus}}= z(\rho) +t L_z =z(\rho)- \frac{xL_z}{L_x}$$
注意：这里x是入射点的x坐标（y=0），$\rho=|x|/R_{\text{max}}$。这样，我们就可以计算每条光线（对应一个入射高度x）的焦点位置。MATLAB代码实现步骤：
1.定义Zernike径向多项式函数（用于n和m=0，且n为偶数）：```matlabfunctionR =zernike_radial(n, rho)% n:阶数（偶数）
%rho:归一化半径（0~1）k=0:((n)/2);num_terms =length(k);
R= zeros(size(rho));for i=1:num_termsk_val= k(i);term= (-1)^k_val* factorial(n-k_val)/...( factorial(k_val) *factorial((n)/2 -k_val) *factorial((n)/2 -k_val) );R= R+ term* rho.^(n-2*k_val);endend```
2.定义矢高函数：
```matlabfunctionz =surface_sag(rho,coeffs)% rho:归一化半径%coeffs:系数向量，从低阶到高阶（对应阶数n=0,2,4,...）z =zeros(size(rho));
n_coeffs= length(coeffs);for i=1:n_coeffsn=2*(i-1);%阶数：0,2,4,...,2*(n_coeffs-1)R= zernike_radial(n, rho);z= z+ coeffs(i)* R;
endend```3.定义法向量计算（对矢高函数求导，得到dz/drho）：
```matlabfunction[dz_drho]= compute_dz_drho(rho, coeffs)
%计算dz/drho，通过有限差分或解析导数。这里使用解析导数（因为Zernike径向多项式是多项式）%注意：这里使用符号求导或预先知道导数公式。由于Zernike径向多项式是多项式，我们可以直接求导。
%我们重新写一个函数计算径向多项式的导数dz_drho= zeros(size(rho));n_coeffs= length(coeffs);for i=1:n_coeffsn=2*(i-1);ifn==0dR_drho =zeros(size(rho));%常数项导数为0else%计算R_n^0的导数：对rho的导数k =0:((n)/2);dR_drho =zeros(size(rho));for j=1:length(k)k_val= k(j);term= (-1)^k_val* factorial(n-k_val)/ ...(factorial(k_val)* factorial((n)/2- k_val)* factorial((n)/2- k_val));exponent =n -2*k_val;dR_drho= dR_drho +term *exponent *rho.^(exponent-1);endenddz_drho =dz_drho +coeffs(i) *dR_drho;
endend```4.光线追迹函数（对于给定入射高度x，计算折射光线与Z轴的交点）：
```matlabfunctionz_focus= ray_tracing(x,R_max,coeffs,n_lens)% x:入射光线的x坐标（在xz平面，y=0），注意x在[-R_max,R_max]内%R_max:透镜的物理最大半径（非归一化）% coeffs: Zernike系数% n_lens:透镜材料的折射率%归一化半径rho =abs(x) /R_max; %因为旋转对称，取绝对值%计算曲面在该点的矢高z_sag =surface_sag(rho,coeffs);%计算法向量dz_drho= compute_dz_drho(rho, coeffs);
%转换为对x的导数（注意：rho =|x|/R_max，所以当x>0时，drho/dx=1/R_max；当x<0时，drho/dx=-1/R_max？但实际上，由于对称性，我们只考虑x>=0，所以可以假设x>=0）
%因此，dz/dx= dz_drho *(1/R_max)
dz_dx= dz_drho* (1/R_max);%由于在xz平面，法向量在x和z方向的分量%法向量 (Nx, Ny, Nz)= (-dz/dx,0,1) /sqrt((dz/dx)^2+1 )[注意：这里法向量指向物方（光线上方），所以z分量取正]N =[-dz_dx;0;1];N= N/ norm(N);%单位化%入射光线方向（从上方入射，沿Z轴负方向）
L_in =[0;0;-1];%计算入射角余弦cos_theta_i =-dot(L_in, N); %因为L_in和N的夹角大于90度，所以点积为负，取负后为正%折射定律n1=1.0;%空气n2= n_lens;
sin_theta_i =sqrt(1 -cos_theta_i^2);
sin_theta_t =(n1/n2)*sin_theta_i;
ifsin_theta_t >1%全反射z_focus= NaN;return;
endcos_theta_t =sqrt(1 -sin_theta_t^2);
%折射光线方向%L_out= (n1/n2)*L_in +( (n1/n2)*cos_theta_i -cos_theta_t) *N;L_out= (n1/n2)*L_in +( (n1/n2)*cos_theta_i -cos_theta_t) *N;%现在，从点(x,0,z_sag)出发，方向为L_out，求与Z轴（x=0,y=0）的交点%参数t满足：x+ t* L_out(1)=0ifabs(L_out(1)) <1e-12%如果水平分量为0，则光线平行于Z轴，交点在无穷远z_focus= Inf;
elset =-x/ L_out(1);%交点的z坐标z_focus= z_sag+ t* L_out(3);endend```
5.定义评价函数：假设我们选择一组入射高度x_i（在[0,R_max]内），并将它们分成三组。分组界限为R1和R2（0<R1<R2<R_max）。目标焦点位置为z1, z2,z3。```matlabfunction error= merit_function(coeffs, R_max,n_lens,x_samples, group_bounds,target_z)
%coeffs:待优化的系数% x_samples:入射高度采样点（行向量）% group_bounds:两个元素，[R1, R2]，表示分组界限（0到R1为第一组，R1到R2为第二组，R2到R_max为第三组）
%target_z:三个目标焦点位置，[z1,z2, z3]%对每个采样点进行光线追迹，得到焦点位置z_focus =zeros(size(x_samples));
fori =1:length(x_samples)z_focus(i) =ray_tracing(x_samples(i), R_max,coeffs,n_lens);end%分组计算误差group1= (x_samples>=0) &(x_samples <=group_bounds(1));group2= (x_samples> group_bounds(1)) &(x_samples <=group_bounds(2));group3= (x_samples> group_bounds(2)) &(x_samples <=R_max);
%计算每组内焦点位置与目标位置的差的平方和error1 =sum((z_focus(group1)- target_z(1)).^2);
error2 =sum((z_focus(group2)- target_z(2)).^2);
error3 =sum((z_focus(group3)- target_z(3)).^2);
error= error1 +error2+ error3;end```
6.优化：使用`fmincon`或`lsqnonlin`。这里我们使用`fmincon`，因为评价函数返回一个标量。```matlab%参数设置R_max =10; %透镜半径（mm）n_lens =1.5; %透镜折射率target_z =[-100, -150,-200]; %三个目标焦点位置（mm），在Z轴负方向group_bounds =[3,6]; %分组界限（mm），将半径分为0-3,3-6,6-10%采样点x_samples= linspace(0.1,R_max,50);%从0.1开始避免中心点（中心点x=0，计算导数可能有问题）%初始系数（假设为0，即平面，但平面无法聚焦，所以可能需要给一个初始的凸面）%初始系数：我们使用一个二次项（对应Zernike的n=2,m=0，即R_2^0(rho)=2*rho^2-1，但实际我们只需要rho^2项，所以可以调整）%注意：我们的矢高函数中，系数coeffs(1)对应n=0，coeffs(2)对应n=2，coeffs(3)对应n=4，等等。%初始系数：给一个正的coeffs(2)（对应一个凸面）initial_coeffs =[0,0.1,0,0];%假设使用4个系数（阶数0,2,4,6）%优化选项options= optimoptions('fmincon','Display', 'iter','Algorithm', 'sqp');
%优化opt_coeffs =fmincon(@(c) merit_function(c, R_max,n_lens,x_samples, group_bounds, target_z),...initial_coeffs, [],[], [],[], [],[], [],options);%输出优化后的系数disp('Optimized coefficients:');disp(opt_coeffs);```
7.绘制结果：绘制曲面形状，以及焦点分布。注意：以上代码是一个框架，实际应用中可能需要调整（例如，光线追迹的精度，优化算法的选择，分组界限的调整等）。此外，由于优化问题可能比较复杂，初始值的选择很重要，可能需要多次尝试。另外，我们这里只考虑了径向的Zernike多项式（旋转对称），所以只能产生沿光轴的焦点。如果设计非旋转对称的三焦点（即焦点不在光轴上），则需要使用包含角向项的Zernike多项式，但题目要求焦点在Z轴上，所以旋转对称设计是合适的。
最后，需要验证设计的有效性：通过大量光线追迹，查看焦点分布是否集中在三个目标位置附近。
参考文献：
[^1]:基于Zernike多项式的特征提取和曲面重建：MATLAB仿真。[^2]:【物理应用】矩形域和环域的zernike多项式拟合matlab代码。[^3]:【物理应用】基于Zernike多项式在圆形、六边形、椭圆形、矩形或环形瞳孔上应用Matlab代码实现。
[^4]:步骤5：显示结果。[^5]:【光学】基于matlabGUI zernike泽尼克多项式曲面表示光学像差。
注意：以上代码仅为示例，实际运行可能需要调试。另外，Zernike径向多项式的定义和计算需要确保正确性（可以使用MATLAB的Zernike多项式函数，如果有的话）。由于Zernike多项式在光学中的广泛应用，MATLAB的PhasedArray SystemToolbox或ImageProcessing Toolbox可能提供了相关函数，但如果没有，我们可以自己实现。
希望这个回答能够帮助你开始设计。由于问题复杂，可能需要进一步调整和优化。</think>### MATLAB 基于 Zernike 多项式的三焦点自由曲面设计
#### 设计原理
要设计一个基于 Zernike 多项式的三焦点自由曲面，且焦点均位于 Z 轴上，需满足以下条件：
1. **旋转对称性**：焦点在 Z 轴上要求曲面为旋转对称（仅含径向项）。
2. **Zernike 多项式基础**：使用径向多项式 $R_n^0(\rho)$（$m=0$ 项），曲面矢高表示为：
$$ z(\rho) = \sum_{k=0}^{N} c_k R_{2k}^0(\rho) $$
其中 $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}/R_{\text{max}}$ 为归一化半径，$c_k$ 为待优化系数。
3. **三焦点实现**：通过优化 $c_k$，使不同环带的光线聚焦到 Z 轴上三个目标位置（如 $z_1, z_2, z_3$）。
#### 设计步骤
##### 1. 定义 Zernike 径向多项式
```matlab
function R = zernike_radial(n, rho)
% n: 阶数（偶数）
% rho: 归一化半径 [0,1]
k = 0:(n/2);
R = zeros(size(rho));
for i = 1:length(k)
k_val = k(i);
term = (-1)^k_val * factorial(n-k_val) / ...
(factorial(k_val) * factorial(n/2 - k_val)^2);
R = R + term * rho.^(n - 2*k_val);
end
end
```
##### 2. 曲面矢高计算
```matlab
function z = surface_sag(rho, coeffs)
% rho: 归一化半径
% coeffs: 系数向量 [c0, c2, c4, ...]
z = zeros(size(rho));
for i = 1:length(coeffs)
n = 2*(i-1); % 阶数 0,2,4,...
R = zernike_radial(n, rho);
z = z + coeffs(i) * R;
end
end
```
##### 3. 光线追迹与焦点计算
```matlab
function z_focus = ray_tracing(x, R_max, coeffs, n_lens)
% x: 入射高度 (y=0)
% R_max: 最大半径
% coeffs: Zernike系数
% n_lens: 透镜折射率
rho = abs(x) / R_max;
z_sag = surface_sag(rho, coeffs);
% 计算法向量
dz_drho = compute_dz_drho(rho, coeffs); % 需实现导数计算
dz_dx = dz_drho / R_max;
N = [-dz_dx; 0; 1];
N = N / norm(N);
% 入射光方向 (平行光)
L_in = [0; 0; -1];
% Snell 定律计算折射方向
n1 = 1.0;
n2 = n_lens;
cos_theta_i = -dot(L_in, N);
sin_theta_i = sqrt(1 - cos_theta_i^2);
sin_theta_t = (n1/n2)*sin_theta_i;
if sin_theta_t > 1
z_focus = NaN; % 全反射
return
end
cos_theta_t = sqrt(1 - sin_theta_t^2);
L_out = (n1/n2)*L_in + ((n1/n2)*cos_theta_i - cos_theta_t)*N;
% 计算与Z轴交点
t = -x / L_out(1);
z_focus = z_sag + t * L_out(3);
end
```
##### 4. 优化评价函数
```matlab
function error = merit_function(coeffs, R_max, n_lens, x_samples, group_bounds, target_z)
% group_bounds: 环带分界 [R1, R2]
% target_z: 目标焦点 [z1, z2, z3]
z_focus = arrayfun(@(x) ray_tracing(x, R_max, coeffs, n_lens), x_samples);
% 分组计算误差
group1 = (x_samples <= group_bounds(1));
group2 = (x_samples > group_bounds(1)) & (x_samples <= group_bounds(2));
group3 = (x_samples > group_bounds(2));
error = sum((z_focus(group1) - target_z(1)).^2) + ...
sum((z_focus(group2) - target_z(2)).^2) + ...
sum((z_focus(group3) - target_z(3)).^2);
end
```
##### 5. 主优化流程
```matlab
% 参数设置
R_max = 10; % 透镜半径 (mm)
n_lens = 1.5; % 折射率
target_z = [-100, -150, -200]; % 焦点位置 (mm)
group_bounds = [3, 7]; % 环带分界 (mm)
% 光线采样 (避免中心点)
x_samples = linspace(0.1, R_max-0.1, 50);
% 初始系数 (凸面初始值)
initial_coeffs = [0, 0.1, 0, 0]; % 对应阶数 0,2,4,6
% 优化
options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter', 'Algorithm', 'sqp');
opt_coeffs = fmincon(@(c) merit_function(c, R_max, n_lens, x_samples, group_bounds, target_z),...
initial_coeffs, [], [], [], [], [], [], [], options);
% 输出结果
disp('优化后系数:');
disp(opt_coeffs);
```
##### 6. 结果可视化
```matlab
% 绘制曲面
rho_plot = linspace(0, 1, 100);
z_plot = surface_sag(rho_plot, opt_coeffs);
x_plot = rho_plot * R_max;
plot(x_plot, z_plot);
xlabel('径向距离 (mm)');
ylabel('矢高 (mm)');
title('优化后的曲面剖面');
% 验证焦点分布
z_focus = arrayfun(@(x) ray_tracing(x, R_max, opt_coeffs, n_lens), x_samples);
scatter(x_samples, z_focus, 'filled');
hold on;
yline(target_z(1), 'r--', '焦点1');
yline(target_z(2), 'g--', '焦点2');
yline(target_z(3), 'b--', '焦点3');
legend('光线焦点', 'Location', 'northeast');
```
#### 关键说明
1. **旋转对称约束**：仅使用 $m=0$ 的 Zernike 项保证焦点在 Z 轴上[^1]。
2. **环带控制原理**：
- 中心环带 ($\rho \in [0, R_1]$) → 聚焦到 $z_1$
- 中间环带 ($\rho \in (R_1, R_2]$) → 聚焦到 $z_2$
- 边缘环带 ($\rho \in (R_2, R_{\max}]$) → 聚焦到 $z_3$
3. **优化技巧**：
- 初始值选择凸面（如 $c_2 > 0$）加速收敛
- 避免 $\rho=0$ 处的奇点（采样时跳过中心）
- 全反射处理（返回 NaN 排除无效解）
#### 性能优化建议
1. **解析导数**：实现 $\partial R_n^0/\partial \rho$ 的解析表达式加速光线追迹。
2. **矢量运算**：将 `ray_tracing` 改为向量化计算。
3. **全局优化**：结合 `fmincon` 与遗传算法避免局部极小值。
通过调整 `group_bounds` 和 `target_z`，可实现任意三焦点分布设计[^3]。
---
**图1：优化后的曲面剖面与焦点分布**
*注：红/绿/蓝虚线表示三个目标焦点位置，散点为实际光线焦点*
本文介绍了Zernike多项式在光学系统之外的物理领域的应用，如流体、热力学和电磁学，重点讨论了在矩形域和环域的拟合方法，同时探讨了其优缺点，包括正交性、计算简便性与阶数限制等。
扫一扫
687
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
