Zernike多项式的Matlab代码

最新推荐文章于 2025-09-13 11:37:32 发布

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#matlab #线性代数

本文详细介绍了Zernike多项式的理论、性质，并提供了Matlab代码实现Zernike多项式的Noll和OSA排序。通过示例展示了如何根据多项式序号生成对应的n和m值，以及如何计算Zernike模式。此外，还提供了生成Zernike模式图像的代码示例。

1. 理论介绍：

Zernike多项式【1】（荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克）是定义在单位圆上且满足正交的多项式序列，其在极坐标下可写为：

$\mathop Z\nolimits_j \left( {r,\theta } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {n + 1} \cdot \mathop R\nolimits_n^0 \left( r \right),}&{m = 0}\\ {\sqrt {2\left( {n + 1} \right)} \cdot \mathop R\nolimits_n^m \left( r \right) \cdot \cos \left( {m\theta } \right),}&{m > 0}\\ {\sqrt {2\left( {n + 1} \right)} \cdot \mathop R\nolimits_n^m \left( r \right) \cdot \sin \left( {m\theta } \right),}&{m < 0} \end{array}} \right.\$

其中， $\small \mathop Z\nolimits_j \left( {\rho ,\theta } \right)\$ 是第 j 阶Zernike模式，0≤r≤1，0≤θ≤2π，m、n 分别是多项式的角向级数和径向级数，且满足m≤n；当 n−|m| 是偶数，而径向多项式 $\small {\mathop R\nolimits_n^m \left( r \right)}\$ 定义为：

$\small R^m_n(r) = \sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}} \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\left (\tfrac{n+m}{2}-k \right )! \left (\tfrac{n-m}{2}-k \right)!} \;r^{n-2\,k}$