44、动态随机带时间窗车辆路径问题的多阶段随机规划方法

动态随机带时间窗车辆路径问题的多阶段随机规划方法

1. 问题引入与示例

在一个简单的非预期性示例中，时间 $t = 1$ 时，有一辆车位于顶点 $a$，此时有两个可行行动：前往顶点 $b$ 或前往顶点 $c$。这里考虑两个等概率场景，它们在时间 2 和 3 没有请求揭示，但在时间 4 揭示不同请求。

当使用有非预期性约束的方程（1）时，选择前往 $c$，因为此时预期成本为 1。在时间 4，只剩一个场景，如果是场景 $\xi_1$（或 $\xi_2$），请求 $(d, 4)$（或 $(g, 4)$）将被拒绝。而使用无此约束的方程（2）时，选择前往 $b$，预期成本为 0。不过若前往 $b$，在时间 3 需在前往 $d$ 或 $g$ 中选择，此时两个行动的预期成本均为 1.5。这表明多阶段问题（1）的非预期性约束能带来比两阶段松弛（2）更好的行动。

两阶段随机问题方程（2）为：
[
a_t = \arg \min_{a_t \in A(\xi_t)} E_{\xi_{t + 1}..H}[\min_{a_{t + 1}..H \in A(\xi_{t + 1}..H)} \omega(a_0..H)]
]
方程（1）强制实施非预期性约束，在每个 $t’ > t$ 时，仅考虑使关于 $\xi_{t’}$ 的期望最小化的行动 $a_{t’}$，不考虑 $\xi_{t’+1..H}$ 的可能实现。方程（2）不实施这些约束，为每个实现 $\xi_{t + 1}..H \in \xi_{t + 1}..H$ 考虑最佳序列 $a_{t + 1}..H$。因此，方程（1）可能导致 $\omega$ 的期望比方程（2）大，但在某些请求在时间 $t$ 未揭