33、懒官僚问题的整数线性规划和约束规划模型

懒官僚问题的整数线性规划和约束规划模型

1. 问题背景与基础概念

懒官僚问题（LBP）与背包问题（KP）有很多相似之处，可以看作是以一种最无效率的方式将一组物品装入背包的问题。在后续讨论中，将集合 (I) 中的元素称为物品，作业持续时间 (w_i) 称为物品重量， (p_i) 称为物品利润，截止时间 (C) 称为预算或容量。

1.1 物品排序与相关定义

假设所有物品按字典序非递减排列，首先按重量 (w_1 \leq w_2 \leq \cdots \leq w_n) 排序，然后按利润 (p_i) 排序。对于每个 (i \in I)，定义 (C_i := C - w_i)，有 (C_1 \geq C_2 \geq \cdots \geq C_n)。同时，记 (w_{max} := \max_{i \in I} w_i (= w_n)) 和 (w_{min} := \min_{i \in I} w_i (= w_1))， (W := \sum_{i \in I} w_i)， (P := \sum_{i \in I} p_i)。

1.2 解的性质

• 性质 1 ：任意可行解 (S) 所使用的容量下界为 (C - w_{max} + 1)。
  • 证明 ：根据定义，将 (S) 外的任何物品插入背包都会超过其容量，所以 (S) 的容量加上 (w_{max}) 必须大于等于 (C + 1)，即 (S) 的容量至少为 (C - w_{max} + 1)。由于 (w_{max} \geq w_i)，(\forall i \in I)，该下