24、时间序列的自相关、互相关及滤波器估计

时间序列的自相关、互相关及滤波器估计

在数据分析领域，时间序列分析是一个重要的研究方向，其中自相关、互相关以及滤波器估计等概念和方法对于理解时间序列数据的特征和关系具有关键作用。下面将详细介绍这些内容。

1. 自相关的基本概念与计算

自相关是衡量时间序列中不同时间点数据之间相关性的重要指标。对于长度为 $N$ 的时间序列 $d$，MATLAB 的 xcorr() 函数和 Python 的 np.correlate() 方法都会返回一个长度为 $2N - 1$ 的向量 $a$，该向量包含正负滞后值，零滞后元素位于中间。由于相关点数 $N_k$ 随滞后 $k$ 的增加而减少，自相关的幅度通常在两端会减小，可使用因子 $N/N_k$ 来补偿这种“人为”的减小（前提是 $d$ 是平稳的）。

以 Neuse 河水位流量图的自相关为例，当滞后较小时（小于一个月），自相关随滞后迅速下降，反映了暴雨后雨水排干所需的时间；当滞后较大时（几年），自相关以一年为周期围绕零振荡，体现了季节性循环，夏季和冬季的流量呈负相关。

自相关也可以手动计算：
- 零滞后（$k = 1$）时 ：将时间序列写两行，上下对应元素相乘后相加，即 $a_1 = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + \cdots + d_N^2$，$a_1$ 与时间序列的功率成正比。
- 后续元素 ：通过逐步偏移其中一行时间序列，再进行相乘和相加（忽略无重叠的元素）来计算。例如，滞后 $\Delta t$（$k = 2$）时，$a_1 = d_2d_1 + d