17、时间序列中的相关性检测与分析

时间序列中的相关性检测与分析

1. 手动计算自相关

自相关是时间序列分析中的重要概念，用于衡量时间序列在不同时间滞后下的相关性。零滞后（$k = 1$）的自相关可以通过以下手动步骤计算：
- 写下时间序列的两个副本，一个放在另一个上方。
- 将相邻项相乘。
- 对相乘结果求和。

例如，对于时间序列 $d_1, d_2, d_3, \cdots, d_N$，零滞后自相关 $a_1$ 的计算如下：
[
a_1 = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + \cdots + d_N^2
]
需要注意的是，$a_1$ 与时间序列的功率成正比。后续的自相关元素 $a_k$ 通过将一个时间序列副本相对于另一个进行逐步偏移，然后进行相乘和求和（忽略无重叠的元素）来计算。

滞后 $\Delta t$（$k = 2$）的元素计算如下：
[
a_2 = d_2d_1 + d_3d_2 + d_4d_3 + \cdots + d_Nd_{N - 1}
]
滞后 $2\Delta t$（$k = 3$）的元素计算如下：
[
a_3 = d_1d_3 + d_2d_4 + \cdots + d_{N - 2}d_N
]

2. 自相关与卷积和功率谱密度的关系

自相关公式与卷积公式非常相似。自相关公式为：
[
a_k = \sum_{i} d_id_{k + i - 1}
]
卷积公式为：
[
y_k = \sum_{i} g_ih_{k - i + 1}