20、滤波器与无向数据分析方法

滤波器与无向数据分析方法

1. 利用已知信息设计滤波器

在评估卷积方程（如 $\theta = g * h$）的标准方法中，我们按顺序计算 $\theta$ 的元素 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots$，但彼此独立。然而，在计算 $\theta_2$ 之前我们已知 $\theta_1$ 的值，计算 $\theta_3$ 之前已知 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的值，这些已知但未使用的 $\theta$ 值是可以利用的信息源。

假设卷积方程（式 7.1）通过添加第二个求和项进行修改：
$\theta_i = \sum_{j = 1}^{\infty} g_j h_{i - j + 1} = \sum_{j = 1}^{N} u_j h_{i - j + 1} - \sum_{j = 2}^{M} v_j \theta_{i - j + 1}$ (7.22)
这里，$u$ 和 $v$ 分别是长度为 $N$ 和 $M$ 的滤波器，它们与 $g$ 的关系有待确定。注意最后一个求和项从 $j = 2$ 开始，因此仅使用先前计算的 $\theta$ 元素。将 $\theta$ 的过去值引入卷积方程称为递归，包含递归的滤波器（即包含式 7.22 中的最后一项）称为无限脉冲响应（IIR）滤波器。省略递归的滤波器（即省略式 7.22 中的最后一项）称为有限脉冲响应（FIR）滤波器。如果我们定义 $v_1 = 1$，则可以将式 (7.22) 重写为：
$\sum_{j = 1}^{M} v_j \theta_{i - j + 1} = \sum_{j = 1}^{N} u_j h_{i - j + 1}$ 或 $v * \theta