18、图形模型：有向与无向的探索及计算机视觉应用

图形模型：有向与无向的探索及计算机视觉应用

1. 有向图形模型

有向图形模型，也称为贝叶斯网络，将联合概率分布分解为条件分布的乘积，其形式为有向无环图（DAG）。联合概率分布可表示为：
[Pr(x_1\cdots N) = \prod_{n=1}^{N} Pr(x_n|x_{pa[n]})]
其中，({x_n}_{n=1}^{N}) 代表联合分布的组成变量，函数 (pa[n]) 返回变量 (x_n) 的父变量的索引。

为了将这种分解可视化成有向图形模型，我们为每个随机变量添加一个节点，并从其每个父变量 (x_{pa[n]}) 向变量 (x_n) 绘制箭头。这个有向图形模型不能包含循环，否则原始分解就不是一个有效的概率分布。

从图形模型中恢复分解时，我们为图中的每个变量引入一个分解项。如果变量 (x_n) 与其他所有变量独立（没有父变量），则写成 (Pr(x_n))；否则，写成 (Pr(x_n|x_{pa[n]}))，其中父变量 (x_{pa[n]}) 是指向 (x_n) 的箭头所对应的变量集合。

1.1 示例 1

图 10.2 中的图形模型表示的分解为：
[Pr(x_1 \cdots x_{15}) = Pr(x_1)Pr(x_2)Pr(x_3)Pr(x_4|x_1,x_2)Pr(x_5|x_2)Pr(x_6) \times Pr(x_7)Pr(x_8|x_4,x_5)Pr(x_9|x_5,x_6)Pr(x_{10}|x_7)Pr(x_{11}|x_7,x_8) \times Pr(x_{12}|x_8)Pr(x_{13}|x_9)Pr(x_{14}|x_{11})Pr(x_{15}|x_{12})] </