18、图形模型：有向与无向的深入剖析

图形模型：有向与无向的深入剖析

1. 有向图形模型

有向图形模型，也被称为贝叶斯网络，它将联合概率分布分解为一系列条件分布的乘积，其形式表现为有向无环图（DAG）。具体的分解公式为：
[Pr(x_1\cdots N) = \prod_{n = 1}^{N} Pr(x_n|x_{pa[n]})]
其中，({x_n}_{n = 1}^{N}) 代表联合分布的各个组成变量，函数 (pa[n]) 返回变量 (x_n) 的父变量的索引。

1.1 可视化与构建

我们可以通过为每个随机变量添加一个节点，并从每个父变量 (x_{pa[n]}) 向变量 (x_n) 绘制箭头，将这种分解可视化成有向图形模型。需要注意的是，这个有向图形模型不能包含循环，否则原始的分解就不是一个有效的概率分布。

1.2 从图形模型中获取分解

从图形模型中获取分解时，我们为图中的每个变量引入一个分解项。如果变量 (x_n) 与其他所有变量独立（即没有父变量），则写成 (Pr(x_n))；否则，写成 (Pr(x_n|x_{pa[n]}))，其中父变量 (x_{pa[n]}) 是指向 (x_n) 的变量集合。

1.3 示例分析

1.3.1 示例 1

以下图为例，其对应的分解形式为：
[Pr(x_1 \cdots x_{15}) = Pr(x_1)Pr(x_2)Pr(x_3)Pr(x_4|x_1,x_2)Pr(x_5|x_2)Pr(x_6) \times Pr(x_7)Pr(x_8|x_4,x_5)Pr(x_9|x_5,x_6)Pr(x_{10}|x_7)Pr(x_{11}|x_7,