前缀和和差分

前缀和（Prefix Sum）和差分（Difference Array）是处理数组问题时常用的两种数据结构或算法技巧，它们可以加速某些类型的查询，尤其是在涉及数组元素累积和或变化量的情况下。

前缀和（Prefix Sum）

前缀和是一种将数组元素的累积和存储在新数组中的技术。对于一个数组 a，其前缀和数组 prefixSum 定义如下：

prefixSum[i] = a[0] + a[1] + ... + a[i-1]

这样，你可以在 O(1) 时间内查询数组 a 中任意子区间 [l, r)（左闭右开）的和，计算方式为：

sum = prefixSum[r] - prefixSum[l]

用途：

• 快速计算任意子区间的元素和。
• 处理与数组元素累积和有关的问题。

实现

vector<int> computePrefixSum(const vector<int>& a) {
    int n = a.size();
    vector<int> prefixSum(n, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + a[i - 1];
    }
    return prefixSum;
}

 

差分（Difference Array）

差分数组是一种基于原数组生成新数组的技术，新数组中的每个元素是原数组中相邻元素的差。对于一个数组 a，其差分数组 diff 定义如下：

diff[i] = a[i] - a[i - 1] （对于 i > 0，diff[0] = a[0]）

这样，你可以在 O(1) 时间内恢复原数组的任意元素，或者快速计算任意子区间的和。

用途：

• 快速修改数组中的元素（例如，对某个区间的所有元素同时加上或减去一个值）。
• 处理与数组元素变化量有关的问题。

实现：

vector<int> computeDifference(const vector<int>& a) {
    int n = a.size();
    vector<int> diff(n, 0);
    diff[0] = a[0]; // 第一个元素没有前一个元素，所以直接赋值
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        diff[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    return diff;
}

前缀和和差分都是处理数组问题的有效工具，它们可以显著提高某些类型问题的解决效率。在实际应用中，选择哪一种技术取决于问题的具体需求。