完全背包问题

一、问题描述

完全背包问题是一个经典的动态规划问题。其问题描述如下：

二、算法思路

1. 定义状态
   • 我们使用动态规划来解决这个问题。定义一个一维数组dp，其中dp[j]表示背包容量为 j时能获得的最大价值。
2. 状态转移方程
   • 对于每种物品i ，我们有两种选择：放或者不放。由于每种物品有无限件可用，我们可以从背包容量vi开始，一直到背包总容量V，更新dp数组。
   • 状态转移方程为：
   • 这里的含义是：对于背包容量为 j的情况，我们考虑放入第 i种物品。 dp[j-vi]表示在放入第i种物品之前背包容量为 j-vi时的最大价值，加上第i种物品的价值wi ，与不放入第 i种物品时的 dp[j]比较，取较大值。
3. 初始化
   • 初始化 dp数组为 0，表示背包容量为 0 时，最大价值为 0。

三、代码解析

以下是使用 C++ 实现完全背包问题的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    // 定义向量v和w分别存储每种物品的体积和价值
    vector<int> v(N);
    vector<int> w(N);
    // 定义dp数组，dp[j]表示背包容量为j时的最大价值
    vector<int> dp(V + 1, 0);

    // 输入每种物品的体积和价值
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    // 完全背包的核心算法
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    // 输出背包容量为V时的最大价值
    cout << dp[V] << endl;
    return 0;
}

1. 变量定义
   • 首先，我们定义了整数 N和 V，分别表示物品的种类数和背包的容量。
   • 然后，我们定义了三个向量 v、w 和 dp。v 和 w 分别用于存储每种物品的体积和价值，dp 用于存储不同背包容量下的最大价值。
2. 输入处理
   • 通过循环，我们输入了每种物品的体积和价值，并存储到 v 和 w 向量中。
3. 动态规划计算
   • 外层循环 for (int i = 0; i < N; i++) 遍历每种物品。
   • 内层循环 for (int j = v[i]; j <= V; j++) 从当前物品的体积  开始，到背包总容量 ，根据状态转移方程更新 dp 数组。
4. 输出结果
   • 最后，我们输出背包容量为  时的最大价值，即 dp[V]。

四、总结

完全背包问题是动态规划中的一个重要问题，通过合理地定义状态和状态转移方程，可以有效地解决此类问题。上述代码通过简洁的实现，展示了如何使用动态规划来求解完全背包问题。在实际应用中，完全背包问题的思想可以应用于资源分配、投资组合等多个领域，具有广泛的应用价值。