bzoj 4294 [PA2015]Fibonacci 数学

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来解决斐波那契数列取模的问题，并通过深度优先搜索结合剪枝策略来枚举每一位数，最终找到满足特定条件的斐波那契数列项。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契取模 $10^x$ 的循环节是 $6*10^x$ （别问我怎么证。。。）
求第x项取模可以矩乘。
因此可以深搜枚举每一位然后验证减枝。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
char s[21];
int n;
ull ten[21],v,mod;
ull mul(ull x,ull y)
{
    ull ret=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
struct matrix 
{
    ull w[2][2];
    friend matrix operator * (const matrix &r1,const matrix &r2)
    {
        matrix ret;
        memset(&ret,0,sizeof(ret));
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++)
                    (ret.w[i][j]+=mul(r1.w[i][k],r2.w[k][j]))%=mod;
        return ret;
    }
}mat;
matrix qpow(matrix x,ull y)
{
    matrix ret;
    ret.w[0][0]=1;ret.w[1][1]=1;
    ret.w[0][1]=ret.w[1][0]=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x;
        x=x*x;y>>=1;
    }
    return ret;
}
ull fib(ull x)
{
    mat.w[0][0]=0;mat.w[0][1]=1;
    mat.w[1][0]=1;mat.w[1][1]=1;
    mat=qpow(mat,x);
    return mat.w[0][1];
}
void dfs(ull x,int y)
{
    mod=ten[y];
    if(fib(x)!=v%ten[y])return;
    if(y==n){printf("%llu\n",x+6*ten[18]);exit(0);}
    for(int i=0;i<10;i++)dfs(x+6*ten[y]*i,y+1);
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)v=v*10+s[i]-'0';
    ten[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++)ten[i]=ten[i-1]*10;
    for(int i=0;i<60;i++)
    {
        dfs(i,1);
    }
    puts("NIE");
    return 0;
}