codeforces 702F 可持久化平衡树

本文介绍了一种使用可持久化平衡树解决特定购物问题的算法。该问题涉及多种商品与购买者的预算及偏好匹配,通过排序和平衡树操作实现了高效求解。

题意:有n种T恤,每种有一个价格ci和品质qi。有m个人要买T恤,第i个人有vi块钱,每个人每次都买一件能买得起的qi最大的T恤。一个人只能买一种T恤一件,所有人互不影响。求最后每个人买了多少件T恤。

将T恤排序。用可持久化平衡树维护所有人。扫一遍T恤,将钱数大于当前T恤价值的人拿出来,把他们的钱数减当前价格,再塞回去。

当减完价格后这个集合的最小元素不一定大于另一个集合的最大元素。这样就不能merge。

不过由于当前集合中减完价格后的值小于价格的人的钱数一定至少减半,所以每个人只能有log次减完价格后的值小于价格。因此可以暴力将这些人插入。复杂度log^2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 210000
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]
int n,m,root;
pair<int,int>a[N];
int val[N],ch[N][2],bv[N],bc[N],rnd[N],cnt[N];
void pushdown(int x)
{
    if(!x)return;
    if(bv[x])
    {
        val[ls]+=bv[x];val[rs]+=bv[x];
        bv[ls]+=bv[x];bv[rs]+=bv[x];
        bv[x]=0;
    }
    if(bc[x])
    {
        cnt[ls]+=bc[x];cnt[rs]+=bc[x];
        bc[ls]+=bc[x];bc[rs]+=bc[x];
        bc[x]=0;
    }
}
void split(int rt,int &x,int &y,int v)
{
    if(!rt){x=y=0;return;}
    pushdown(rt);
    if(val[rt]<v)
        x=rt,split(ch[rt][1],ch[x][1],y,v);
    else
        y=rt,split(ch[rt][0],x,ch[y][0],v);
}
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(rnd[x]<rnd[y])
    {
        pushdown(x);
        ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
        return x;
    }
    else
    {
        pushdown(y);
        ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
        return y;
    }
}
int insert(int x,int y)
{
    int r1=0,r2=0;
    split(x,r1,r2,val[y]);
    r1=merge(r1,y);
    x=merge(r1,r2);
    return x;
}
int dfs(int x,int y)
{
    if(!x)return y;
    pushdown(x);
    y=dfs(ls,y);
    y=dfs(rs,y);
    ch[x][0]=ch[x][1]=0;
    return insert(y,x);
}
void down(int x)
{
    if(!x)return;
    pushdown(x);
    down(ls);down(rs);
}
int main()
{
//  freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,c,q;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&c,&q);
        a[i]=make_pair(-q,c);
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {   
        scanf("%d",&val[i]);
        rnd[i]=rand();
        root=insert(root,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int c=a[i].second;
        int r1=0,r2=0,r3=0,r4=0;
        split(root,r1,r2,c);
        val[r2]-=c;bv[r2]-=c;
        cnt[r2]++;bc[r2]++;
        split(r2,r3,r4,c-1);
        r1=dfs(r3,r1);
        root=merge(r1,r4);
    }
    down(root);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%d ",cnt[i]);
    return 0;
}
Codeforces 2123F 问题中,目标是通过重新排列数组 $ a $ 来最小化不动点的数量。所谓“不动点”是指在重新排列后的数组中满足 $ a_i = i $ 的位置。该问题要求设计一种策略,以最优方式重新排列数组元素,使得这样的不动点数量最少。 为了解决这个问题,可以采用贪心算法和图论思想相结合的策略: - 首先,观察到如果某个值 $ i $ 出现了多次(即 $ a_i = i $),那么这些重复的值必须被移动到其他位置,以消除不动点。 - 对于那些没有出现在其索引上的值(例如 $ a_i \neq i $),可以通过交换操作将其移动到合适的位置,从而避免产生新的不动点。 一个有效的解决方案可以基于以下步骤: 1. 构建一个映射表,记录每个值出现的位置。 2. 找出所有当前值等于其索引的位置(即当前的不动点)。 3. 尝试通过交换来消除这些不动点。优先考虑将这些值移动到未被占用的位置,并确保不会引入新的不动点。 4. 在无法完全消除所有不动点的情况下,选择最优的交换策略以尽可能减少不动点的数量。 以下是 Python 中的一个示例实现,用于解决此类问题的基本思路: ```python def minimize_fixed_points(n, a): pos = {} fixed_points = [] # 记录每个值的出现位置,并找出初始的不动点 for i in range(n): if a[i] == i + 1: fixed_points.append(i) if a[i] not in pos: pos[a[i]] = [] pos[a[i]].append(i) # 如果没有重复的值,则可以直接交换以消除所有不动点 result = a[:] for i in fixed_points: found = False for val in pos: if val != i + 1 and len(pos[val]) > 0: j = pos[val].pop() result[i], result[j] = result[j], result[i] found = True break if not found: # 特殊情况处理:当只剩下一个值时 for j in range(n): if j != i and result[j] != j + 1: result[i], result[j] = result[j], result[i] break return result # 示例输入 n = int(input()) a = list(map(int, input().split())) result = minimize_fixed_points(n, a) print(' '.join(map(str, result))) ``` 此代码实现了上述逻辑,并尝试通过交换来最小化不动点的数量。对于大多数情况,它能够有效消除所有不动点;在某些特殊情况下(例如所有值都唯一且存在多个不动点),则需要特别处理。
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