【PA 2015】Siano

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#线段树

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线段树

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本文解析了一道关于区间加区间覆盖的经典算法题，详细介绍了如何通过预处理前缀和，结合二分查找和线段树技巧，解决农夫Byteasar在不同时间点对草场进行收割的问题。算法巧妙地利用了草生长速度的特性，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目】

题目描述：

农夫 Byteasar 买了一片 $n$ 亩的土地，他要在这上面种草。

他在每一亩土地上都种植了一种独一无二的草，其中，第 $i$ 亩土地的草每天会长高 $a_i$ 厘米。

Byteasar 一共会进行 $m$ 次收割，其中第 $i$ 次收割在第 $d_i$ 天，并把所有高度大于等于 $b_i$ 的部分全部割去。Byteasar 想知道，每次收割得到的草的高度总和是多少，你能帮帮他吗？

输入格式：

第一行包含两个正整数 $n, m (1 \leq n, m \leq 500000)$ ，分别表示亩数和收割次数。

第二行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数为 $a_i(1≤a_i≤1000000)$ ，依次表示每亩种植的草的生长能力。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $d_i,b_i(1≤d_i≤10^{12}，0≤b_i≤10^{12})$ ，依次描述每次收割。

数据保证 $d_1<d_2<...<d_m$ ，并且任何时刻没有任何一亩草的高度超过 $10^{12}$ 。

输出格式：

输出 $m$ 行，每行一个整数，依次回答每次收割能得到的草的高度总和。

样例数据：

输入
4 4
1 2 4 3
1 1
2 2
3 0
4 4

输出
6
6
18
0

提示：

第 $1$ 天，草的高度分别为 $1, 2, 4, 3$ ，收割后变为 $1, 1, 1, 1$ 。
第 $2$ 天，草的高度分别为 $2, 3, 5, 4$ ，收割后变为 $2, 2, 2, 2$ 。
第 $3$ 天，草的高度分别为 $3, 4, 6, 5$ ，收割后变为 $0, 0, 0, 0$ 。
第 $4$ 天，草的高度分别为 $1, 2, 4, 3$ ，收割后变为 $1, 2, 4, 3$ 。

【分析】

首先，我们要知道一个东西，即若 $a_i>a_j$ ，那么在任意时间， $h_i$ 是始终大于 $h_j$ 的

那么我们不妨对数组 $a$ 进行排序，排序后的草的高度在任意时间内是单调不减的

那么对于每次的询问 $d_i$ ，所有草都长了 $d_i-d_{i-1}$ 的时间，这个可以用预处理出前缀和，然后用区间加搞定，而对于 $b_i$ ，由于此时高度一定是单调不减的，可以二分找出第一个要割的位置（在线段树上找），然后统计答案后用区间覆盖

所以这道题就转变成了区间加，区间覆盖的简单问题（由于区间和只用返回 $sum_{root}$ ，连区间和都不用写）

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 500005
#define ll long long
using namespace std;
int a[N];
ll d[N],b[N],s[N],sum[N<<2],Max[N<<2],add[N<<2],mark[N<<2];
void Pushup(int root)
{
	sum[root]=sum[root<<1]+sum[root<<1|1];
	Max[root]=max(Max[root<<1],Max[root<<1|1]);
}
void Cover(int root,int l,int r,ll val)
{
	Max[root]=val;
	sum[root]=val*(r-l+1);
	add[root]=0,mark[root]=val;
}
void Add(int root,int l,int r,ll val)
{
	add[root]+=val;
	Max[root]+=val*a[r];
	sum[root]+=val*(s[r]-s[l-1]);
}
void Pushdown(int root,int l,int r,int mid)
{
	if(mark[root]!=-1)  Cover(root<<1,l,mid,mark[root]),Cover(root<<1|1,mid+1,r,mark[root]);
	if(add[root])  Add(root<<1,l,mid,add[root]),Add(root<<1|1,mid+1,r,add[root]);
	add[root]=0,mark[root]=-1;
}
int find(int root,int l,int r,ll x)
{
	if(l==r)return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	Pushdown(root,l,r,mid);
	if(x<=Max[root<<1])  return find(root<<1,l,mid,x);
	return find(root<<1|1,mid+1,r,x);
}
void Modify(int root,int l,int r,int x,int y,ll val)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		Cover(root,l,r,val);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	Pushdown(root,l,r,mid);
	if(x<=mid)  Modify(root<<1,l,mid,x,y,val);
	if(y>mid)  Modify(root<<1|1,mid+1,r,x,y,val);
	Pushup(root);
}
int main()
{
	int n,m,i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;++i)
	  scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);
	for(i=1;i<=n;++i)
	  s[i]=s[i-1]+a[i];
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%lld%lld",&d[i],&b[i]);
		Add(1,1,n,d[i]-d[i-1]);ll ans=sum[1];
		if(Max[1]<=b[i]){printf("0\n");continue;}
		int pos=find(1,1,n,b[i]);
		Modify(1,1,n,pos,n,b[i]);
		printf("%lld\n",ans-sum[1]);
	}
	return 0;
}